Identidad del coseno del ángulo doble
Aplicar la identidad del coseno del ángulo doble, que expresa cos(2x) en función del seno y el coseno de x.
Introducción
Esta identidad es un caso particular de la fórmula del coseno de una suma, cuando ambos ángulos que se suman son iguales (α=β=x), y admite formas equivalentes usando la identidad pitagórica.
Explicación
Definición formal
Haciendo $\alpha=\beta=x$ en la identidad $\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$, se obtiene $\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x$. Usando $\sin^2x=1-\cos^2x$ o $\cos^2x=1-\sin^2x$, se obtienen las formas equivalentes $2\cos^2x-1$ y $1-2\sin^2x$.
Desarrollo didáctico
En la figura, θ=50° y 2θ=100°. Se puede verificar que cos100°=cos²50°-sin²50°, o de forma equivalente usando cualquiera de las otras dos formas de la fórmula.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica el ángulo x cuyo doble se quiere calcular.
- Paso 2: Obtén (o calcula) los valores de sinx y cosx (o solo uno de ellos, según la forma de la fórmula que uses).
- Paso 3: Aplica la forma más conveniente: cos²x-sin²x, 2cos²x-1, o 1-2sin²x.
Ejemplos
1 sin30°=0,5, cos30°=√3/2≈0,866.
- cos60°=cos²30°-sin²30°=0,75-0,25=0,5, coincidiendo con el valor conocido de cos60°.
2 cosx=0,8.
- cos(2x)=2×0,8²-1=2×0,64-1=0,28, usando la forma que solo requiere el coseno.
3 ¿Existen varias formas equivalentes de esta identidad?
- Sí, cos²x-sin²x, 2cos²x-1 y 1-2sin²x son todas equivalentes.
4 ¿Se puede calcular cos(2x) conociendo solo sinx?
- Sí, usando la forma cos(2x)=1-2sin²x, que no requiere el valor de cosx.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Usar solo la forma cos²x-sin²x cuando conviene más usar 2cos²x-1 o 1-2sin²x según los datos disponibles."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir esta identidad con la del seno del ángulo doble."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar que las tres formas de la fórmula son equivalentes entre sí, y elegir la que requiere un dato no disponible."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para cualquier ángulo $x$, se cumple $\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x$, que también puede escribirse como $2\cos^2x-1$ o como $1-2\sin^2x$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
cos(2x) puede expresarse como:
Es una de las formas de la identidad del coseno del ángulo doble.
Respuesta: A) cos²x-sin²x
-
cos(2x)=2cos²x-1 es una forma equivalente de esta identidad.
Se obtiene sustituyendo sin²x=1-cos²x en cos²x-sin²x.
Respuesta: Verdadero
-
¿Qué forma de esta identidad conviene usar si solo se conoce sinx?
Esta forma solo requiere el valor de sinx.
Respuesta: A) 1-2sin²x
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
cos(2x)=2cosx.
Esa expresión no corresponde a ninguna forma válida de esta identidad.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Si cosx=0,6, ¿cuál es cos(2x) usando 2cos²x-1?
2×0,36-1=0,72-1=-0,28.
Respuesta: A) -0,28
-
Si sinx=0,5, entonces cos(2x)=0,5 usando 1-2sin²x.
1-2×0,25=1-0,5=0,5.
Respuesta: Verdadero
-
Si sinx=0,6 y cosx=0,8, ¿cuál es cos(2x) usando cos²x-sin²x?
0,64-0,36=0,28.
Respuesta: A) 0,28
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es la principal ventaja de tener tres formas equivalentes de esta identidad?
Es la utilidad principal de tener varias formas equivalentes.
Respuesta: A) Permite elegir la forma más conveniente según el dato disponible (solo seno, solo coseno, o ambos)
-
Las tres formas de esta identidad producen siempre el mismo resultado numérico para un mismo ángulo x.
Son algebraicamente equivalentes, por lo que siempre coinciden.
Respuesta: Verdadero
-
Si cos(2x)=0,28 y cosx=0,8, ¿es consistente este resultado con la fórmula 2cos²x-1?
2×0,8²-1=2×0,64-1=0,28, consistente.
Respuesta: A) Sí, ya que 2×0,64-1=0,28