Identidad del coseno de una suma de ángulos
Aplicar la identidad del coseno de una suma de dos ángulos, que expresa cos(α+β) en función de los senos y cosenos de α y β por separado.
Introducción
Al igual que el seno, el coseno de una suma de ángulos no es la suma de los cosenos; existe una fórmula específica, con un signo negativo entre los términos.
Explicación
Definición formal
Para ángulos $\alpha$ y $\beta$ cualesquiera, $\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$.
Desarrollo didáctico
En la figura, α=25° y β=45°, con suma α+β=70°. Se puede verificar que cos70°=cos25°cos45°-sin25°sin45°, notando el signo negativo entre los términos (a diferencia del seno de la suma, que usa signo positivo).
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica los dos ángulos α y β que se están sumando.
- Paso 2: Aplica la fórmula cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ, sustituyendo los valores conocidos.
- Paso 3: Calcula el resultado, prestando especial atención al signo negativo entre los términos.
Ejemplos
1 cos45°=sin45°=√2/2, cos30°=√3/2, sin30°=0,5.
- cos75°=cos45°cos30°-sin45°sin30°=(√2/2)(√3/2)-(√2/2)(0,5)=(√6-√2)/4≈0,259.
2 α=30°, β=30°.
- cos(30°+30°)=cos60°=0,5, mientras que cos30°+cos30°=√3≈1,732, valores distintos, confirmando que no se puede sumar directamente.
3 ¿Esta identidad usa un signo negativo entre sus términos?
- Sí, a diferencia de la del seno, que usa signo positivo.
4 ¿Se puede usar esta identidad para calcular el coseno de ángulos no notables descomponiéndolos en dos notables?
- Sí, por ejemplo 75°=45°+30°, ambos ángulos notables.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Usar signo positivo en vez de negativo entre los términos de la fórmula."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir esta identidad con la del seno de una suma."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Sumar directamente los cosenos de cada ángulo, en vez de aplicar la fórmula correcta."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para cualquier par de ángulos $\alpha$ y $\beta$, se cumple $\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
cos(α+β) es igual a:
Es la fórmula correcta del coseno de una suma.
Respuesta: A) cosα·cosβ-sinα·sinβ
-
cos(α+β)=cosα+cosβ en general.
Esta igualdad no es correcta en general; se debe usar la fórmula completa.
Respuesta: Falso
-
¿Qué signo lleva esta identidad entre sus dos términos?
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ.
Respuesta: A) Negativo
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
cos(α+β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ.
El signo correcto entre los términos es negativo, no positivo.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
cos(90°)=cos(45°+45°)=cos²45°-sin²45°=0.
cos45°cos45°-sin45°sin45°=0,5-0,5=0=cos90°.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuál es el valor de cos(90°) usando cos(60°+30°)?
cos60°cos30°-sin60°sin30°=(0,5)(√3/2)-(√3/2)(0,5)=0.
Respuesta: A) 0
-
Usando cos(30°+45°), ¿cuál es la expresión correcta antes de calcular?
Es la aplicación directa de la fórmula.
Respuesta: A) cos30°cos45°-sin30°sin45°
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
La identidad del ángulo doble cos(2x)=cos²x-sin²x se deduce de esta fórmula haciendo α=β=x.
cos(x+x)=cosx·cosx-sinx·sinx=cos²x-sin²x.
Respuesta: Verdadero
-
Si cosα=0,8, sinα=0,6, cosβ=0,866 y sinβ=0,5, ¿cuál es cos(α+β) aproximadamente?
cos(α+β)=0,8×0,866-0,6×0,5=0,693-0,3=0,393.
Respuesta: A) 0,39
-
¿Por qué es útil la identidad del coseno de una suma?
Es su principal utilidad práctica.
Respuesta: A) Permite calcular el coseno de ángulos no notables descomponiéndolos en ángulos conocidos