Expresión de la tangente como cociente entre seno y coseno
Expresar la tangente de cualquier ángulo x como el cociente entre su seno y su coseno, extendiendo esta relación más allá de los ángulos agudos.
Introducción
Así como en el triángulo rectángulo la tangente es opuesto sobre adyacente, en la circunferencia unitaria esa misma relación se expresa como sinx sobre cosx, válida para cualquier ángulo donde cosx≠0.
Explicación
Definición formal
Si $P=(\cos x,\sin x)$ es un punto sobre la circunferencia unitaria, la tangente se define como $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$, siempre que $\cos x\neq0$.
Desarrollo didáctico
Esta identidad permite calcular la tangente de cualquier ángulo (incluyendo los no agudos) a partir de su seno y coseno, sin necesidad de un triángulo rectángulo. Por ejemplo, si sin150°=0,5 y cos150°=-√3/2, entonces tan150°=0,5/(-√3/2)≈-0,577.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica los valores de senx y cosx para el ángulo dado (usando reducción al primer cuadrante si es necesario).
- Paso 2: Divide senx entre cosx.
- Paso 3: Verifica que el signo del resultado coincida con el signo de la tangente esperado según el cuadrante.
Ejemplos
1 sin150°=0,5, cos150°=-√3/2≈-0,866.
- tan150°=0,5/(-0,866)≈-0,577.
2 sin210°=-0,5, cos210°=-√3/2≈-0,866.
- tan210°=(-0,5)/(-0,866)≈0,577.
3 ¿Esta identidad requiere que cosx sea distinto de cero?
- Sí, en los ángulos donde cosx=0 (90°, 270°), la tangente no está definida.
4 ¿Se puede aplicar esta identidad a ángulos de cualquier cuadrante?
- Sí, es válida en todos los cuadrantes donde el coseno no sea cero.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Invertir el cociente, calculando cosx/sinx en vez de sinx/cosx."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar que la tangente no está definida cuando cosx=0."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Usar valores de seno y coseno de un cuadrante incorrecto al calcular la tangente."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para cualquier ángulo $x$ con $\cos x\neq0$, se cumple la identidad $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Para cualquier ángulo x (con cosx≠0), tanx es igual a:
Es la identidad fundamental de la tangente.
Respuesta: A) sinx/cosx
-
La tangente no está definida cuando cosx=0.
No se puede dividir por cero.
Respuesta: Verdadero
-
¿En qué ángulos del intervalo [0°,360°) no está definida la tangente?
En esos ángulos el coseno vale 0.
Respuesta: A) 90° y 270°
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
tanx=cosx/sinx para cualquier ángulo x.
La identidad correcta es tanx=sinx/cosx.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Si sinx=0,8 y cosx=-0,6, ¿cuál es tanx?
0,8/(-0,6)≈-1,33.
Respuesta: A) -1,33
-
Si sinx=-0,5 y cosx=-0,866, entonces tanx≈0,577.
(-0,5)/(-0,866)≈0,577.
Respuesta: Verdadero
-
Si tanx=2 y cosx=0,447, ¿cuál es sinx?
sinx=tanx×cosx=2×0,447≈0,894.
Respuesta: A) 0,894
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Un ángulo x tiene sinx=-0,6 y cosx=0,8. ¿Cuál es tanx?
(-0,6)/0,8=-0,75.
Respuesta: A) -0,75
-
¿Por qué la tangente no está definida en 90°?
Es la razón matemática de esa indefinición.
Respuesta: A) Porque cos(90°)=0 y no se puede dividir por cero
-
Conocer el seno y el coseno de un ángulo permite calcular su tangente sin necesidad de conocer el ángulo exacto.
Basta con dividir ambos valores.
Respuesta: Verdadero