Identificación del signo del coseno según el cuadrante
Determinar el signo (positivo o negativo) del coseno de un ángulo según el cuadrante en que se ubica su lado terminal.
Introducción
El coseno de un ángulo, definido como la coordenada x de un punto en el lado terminal (dividida por el radio, siempre positivo), tiene signo positivo cuando esa coordenada x es positiva, y negativo cuando es negativa.
Explicación
Definición formal
Si $P=(x,y)$ es un punto sobre el lado terminal de $\theta$ a distancia $r$ del origen, entonces $\cos\theta=\dfrac{x}{r}$, con $r>0$ siempre. Por lo tanto, el signo de $\cos\theta$ coincide con el signo de $x$.
Desarrollo didáctico
En los cuadrantes I y IV, la coordenada x es positiva (a la derecha del eje y), por lo que $\cos\theta>0$. En los cuadrantes II y III, la coordenada x es negativa (a la izquierda del eje y), por lo que $\cos\theta<0$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Determina en qué cuadrante se ubica el lado terminal del ángulo.
- Paso 2: Recuerda que el signo del coseno coincide con el signo de la coordenada x del lado terminal.
- Paso 3: Asigna signo positivo si el cuadrante es I o IV, y negativo si es II o III.
Ejemplos
1 θ=150° (segundo cuadrante).
- Como 150° está en el segundo cuadrante, cos150°<0.
2 θ=300° (cuarto cuadrante).
- Como 300° está en el cuarto cuadrante, cos300°>0.
3 ¿El coseno es positivo en el cuarto cuadrante?
- Sí, en el cuarto cuadrante la coordenada x sigue siendo positiva.
4 ¿El coseno es positivo en el segundo cuadrante?
- No, en el segundo cuadrante la coordenada x es negativa, por lo que el coseno es negativo.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir el signo del coseno con el del seno en un cuadrante dado."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Suponer que el coseno es siempre positivo, sin considerar el cuadrante del ángulo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar que el signo del coseno depende de la coordenada x, no de la y."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
El coseno de un ángulo es positivo en los cuadrantes I y IV (donde la coordenada x del lado terminal es positiva), y negativo en los cuadrantes II y III (donde esa coordenada es negativa).
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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El coseno es positivo en los cuadrantes:
En esos cuadrantes la coordenada x es positiva.
Respuesta: A) I y IV
-
El coseno de un ángulo del segundo cuadrante es negativo.
En el segundo cuadrante x es negativa.
Respuesta: Verdadero
-
¿De qué coordenada depende el signo del coseno de un ángulo?
cosθ=x/r, con r siempre positivo.
Respuesta: A) De la coordenada x
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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El coseno es negativo en el cuarto cuadrante.
En el cuarto cuadrante x sigue siendo positiva, por lo que el coseno es positivo.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Cuál es el signo de cos(200°)?
200° está en el tercer cuadrante, donde el coseno es negativo.
Respuesta: A) Negativo
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cos(320°) es positivo.
320° está en el cuarto cuadrante, donde el coseno es positivo.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuál es el signo de cos(-45°)?
-45° equivale a 315°, en el cuarto cuadrante, donde el coseno es positivo.
Respuesta: A) Positivo
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Si cosθ<0 y θ está entre 0° y 360°, ¿en qué cuadrantes puede estar θ?
El coseno es negativo exactamente en esos dos cuadrantes.
Respuesta: A) II o III
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Conocer el signo del coseno según el cuadrante permite verificar si un cálculo de coseno es razonable.
Es una herramienta útil de verificación de resultados.
Respuesta: Verdadero
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Un ángulo θ cumple cosθ<0 y sinθ<0. ¿En qué cuadrante está θ?
Solo en el tercer cuadrante ambas razones son negativas simultáneamente.
Respuesta: A) Tercer cuadrante