Identificación del signo de la tangente según el cuadrante
Determinar el signo (positivo o negativo) de la tangente de un ángulo según el cuadrante en que se ubica su lado terminal, a partir de los signos de seno y coseno.
Introducción
Como tanθ=sinθ/cosθ, su signo se obtiene combinando los signos de seno y coseno en cada cuadrante: si ambos tienen el mismo signo, la tangente es positiva; si tienen signos distintos, es negativa.
Explicación
Definición formal
Como $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$, su signo es el producto de los signos de $\sin\theta$ y $\cos\theta$. En el cuadrante I ambos son positivos (tan positiva); en el II, seno positivo y coseno negativo (tan negativa); en el III, ambos negativos (tan positiva); en el IV, seno negativo y coseno positivo (tan negativa).
Desarrollo didáctico
Esta relación es consecuencia directa de la identidad tangente=seno/coseno: basta con conocer los signos de seno y coseno en cada cuadrante para deducir el signo de la tangente, sin necesidad de memorizarlo por separado.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Determina el signo del seno y el signo del coseno en el cuadrante correspondiente.
- Paso 2: Aplica la regla de signos de la división: si ambos signos son iguales, el cociente es positivo; si son distintos, es negativo.
- Paso 3: Ese resultado es el signo de la tangente en ese cuadrante.
Ejemplos
1 θ está en el segundo cuadrante.
- En el segundo cuadrante, sinθ>0 y cosθ<0, por lo que tanθ=sinθ/cosθ<0.
2 θ está en el tercer cuadrante.
- En el tercer cuadrante, sinθ<0 y cosθ<0, por lo que tanθ=(negativo)/(negativo)>0.
3 ¿La tangente es positiva en el tercer cuadrante?
- Sí, porque seno y coseno son ambos negativos en ese cuadrante, y su cociente es positivo.
4 ¿La tangente es positiva en el cuarto cuadrante?
- No, en el cuarto cuadrante el seno es negativo y el coseno es positivo, dando un cociente negativo.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Memorizar el signo de la tangente sin relacionarlo con los signos de seno y coseno."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir el signo de la tangente con el del seno o el del coseno por separado."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar que la tangente no está definida cuando cosθ=0 (ángulos de 90° y 270°)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La tangente de un ángulo es positiva en los cuadrantes I y III (donde seno y coseno comparten el mismo signo), y negativa en los cuadrantes II y IV (donde seno y coseno tienen signos opuestos).
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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La tangente es positiva en los cuadrantes:
En esos cuadrantes seno y coseno comparten el mismo signo.
Respuesta: A) I y III
-
La tangente es negativa en el segundo cuadrante.
Seno positivo y coseno negativo dan un cociente negativo.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cómo se deduce el signo de la tangente en un cuadrante?
tanθ=sinθ/cosθ, por lo que su signo depende de ambos.
Respuesta: A) Combinando los signos de seno y coseno mediante la regla de signos de la división
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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La tangente es negativa en el primer cuadrante.
En el primer cuadrante seno y coseno son ambos positivos, la tangente es positiva.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Cuál es el signo de tan(200°)?
200° está en el tercer cuadrante, donde la tangente es positiva.
Respuesta: A) Positivo
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tan(320°) es negativo.
320° está en el cuarto cuadrante, donde la tangente es negativa.
Respuesta: Verdadero
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¿Cuál es el signo de tan(150°)?
150° está en el segundo cuadrante, donde la tangente es negativa.
Respuesta: A) Negativo
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Si tanθ>0 y cosθ<0, ¿en qué cuadrante está θ?
Tangente positiva con coseno negativo implica que el seno también es negativo, situación exclusiva del tercer cuadrante.
Respuesta: A) Tercer cuadrante
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La tangente no está definida en los ángulos cuadrantales de 90° y 270°.
En esos ángulos el coseno vale 0, y la división por 0 no está definida.
Respuesta: Verdadero
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Un ángulo θ tiene tanθ<0. ¿En qué par de cuadrantes puede estar ubicado?
La tangente es negativa exactamente en esos dos cuadrantes.
Respuesta: A) II o IV