Relación de lados en el triángulo notable 45°-45°-90°
Resumen inicial
El triángulo notable $45^\circ-45^\circ-90^\circ$ es un triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos son iguales ($L, L$) y cuya hipotenusa es siempre igual al cateto multiplicado por la raíz de 2 ($L\sqrt{2}$), con razón métrica $1 : 1 : \sqrt{2}$.
Explicación en palabras simples
Si cortas un cuadrado perfecto por su diagonal, obtienes dos triángulos notables de $45^\circ-45^\circ-90^\circ$. Como vienen de un cuadrado, sus dos catetos miden lo mismo ($L$). Y su hipotenusa tiene una regla muy directa:
- Catetos iguales: Ambos catetos miden siempre la misma longitud ($L$).
- Hipotenusa: Siempre mide el cateto multiplicado por la raíz de 2 ($L\sqrt{2}$).
- Ejemplo: Si los catetos miden $5\text{ cm}$, la hipotenusa mide directamente $5\sqrt{2}\text{ cm}$.
Explicación formal
Definición formal
El triángulo rectángulo isósceles es el triángulo notable de ángulos interiores $\{45^\circ, 45^\circ, 90^\circ\}$, resultante de trazar la diagonal de un cuadrado de lado $k$. Sus lados guardan la proporción métrica fija:
$$\text{Lados} = \{k, \; k, \; k\sqrt{2}\} \quad (k > 0)$$
$$\text{Cateto}_1 = k, \quad \text{Cateto}_2 = k, \quad \text{Hipotenusa} = k\sqrt{2}$$
Desglose simbólico y geométrico
- Proporción $1 : 1 : \sqrt{2}$.
- Ángulos agudos congruentes: $\alpha = \beta = 45^\circ = \frac{\pi}{4} \text{ rad}$.
- Despeje de cateto desde hipotenusa $c$: $k = \frac{c}{\sqrt{2}} = \frac{c\sqrt{2}}{2}$.
- Razones trigonométricas canónicas: $\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ y $\tan 45^\circ = 1$.
Síntesis didáctica
El triángulo $45^\circ-45^\circ-90^\circ$ permite calcular diagonales de cuadrados y proyecciones ortogonales simétricas de forma instantánea sin usar calculadora.
Por el teorema de Pitágoras en el triángulo isósceles, la razón de lados es $1 : 1 : \sqrt{2}$ (catetos iguales $L$ y $L$, hipotenusa $L\sqrt{2}$).
Definiciones clave
- Triángulo 45°-45°-90°: Triángulo rectángulo isósceles con ángulos agudos de $45^\circ$.
- Razón notable: Proporción constante de lados $1 : 1 : \sqrt{2}$.
- Diagonal del cuadrado: Segmento de longitud $d = L\sqrt{2}$.
Propiedades y relaciones importantes
- Cálculo directo de hipotenusa: $c = L\sqrt{2}$.
- Despeje racionalizado de cateto: $L = \frac{c}{\sqrt{2}} = \frac{c\sqrt{2}}{2}$.
- Área directa: $A = \frac{L^2}{2} = \frac{c^2}{4}$.
Ejemplo guiado
Un triángulo rectángulo tiene un ángulo agudo de $45^\circ$ y su hipotenusa mide $14\text{ cm}$. Calcula la longitud exacta de cada uno de sus catetos y determina el área del triángulo.
- Paso 1: Identificar el triángulo: al tener un ángulo de $45^\circ$ y uno de $90^\circ$, el otro agudo es $90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$ (triángulo $45^\circ-45^\circ-90^\circ$).
- Paso 2: Aplicar la relación de la hipotenusa: $c = L\sqrt{2} = 14\text{ cm}$.
- Paso 3: Despejar el cateto $L$: $L = \frac{14}{\sqrt{2}} = \frac{14\sqrt{2}}{2} = 7\sqrt{2}\text{ cm}$.
- Paso 4: Calcular el área mediante el semiproducto de catetos: $A = \frac{L \cdot L}{2} = \frac{(7\sqrt{2})^2}{2} = \frac{49 \times 2}{2} = 49\text{ cm}^2$.
- Paso 5: Concluir que cada cateto mide $7\sqrt{2}\text{ cm}$ y el área es $49\text{ cm}^2$.
Multiplicando directamente el cateto por $\sqrt{2}$ se obtiene $8\sqrt{2}\text{ cm}$.
Procedimiento
- Paso 1: Reconocer la presencia de los ángulos $45^\circ-45^\circ-90^\circ$ o de catetos iguales en un triángulo rectángulo.
- Paso 2: Si se conoce el cateto $L$, calcular la hipotenusa multiplicando por $\sqrt{2}$: $c = L\sqrt{2}$.
- Paso 3: Si se conoce la hipotenusa $c$, calcular el cateto dividiendo por $\sqrt{2}$: $L = \frac{c\sqrt{2}}{2}$.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
No confundas los triángulos notables: en el 45-45-90 la hipotenusa lleva raíz de 2 ($L\sqrt{2}$), no raíz de 3 ni el doble.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- En el triángulo $45^\circ-45^\circ-90^\circ$, la hipotenusa es $L\sqrt{2} = 11\sqrt{2}\text{ cm}$.
- $L = \frac{16}{\sqrt{2}} = \frac{16\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2}\text{ cm}$.
- Sí, por ser isósceles.
- No, mide $L\sqrt{2} \approx 1.414L$, no $2L$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Al terminar debes poder
Aplicar las razones métricas del triángulo notable $45^\circ-45^\circ-90^\circ$.
Calculando lados e hipotenusa mediante las relaciones $c = L\sqrt{2}$ y $L = \frac{c\sqrt{2}}{2}$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
En un triángulo 45-45-90, los dos catetos son iguales.
Al tener ángulos opuestos iguales (45° cada uno), los catetos también lo son.
Respuesta: Verdadero
-
Si un cateto mide $l$, ¿cuánto mide la hipotenusa en un triángulo 45-45-90?
Se deduce del teorema de Pitágoras con ambos catetos iguales a $l$.
Respuesta: A) $l\sqrt{2}$
-
En un triángulo 45-45-90, la proporción entre catetos e hipotenusa es:
Es la proporción fija de este triángulo notable.
Respuesta: A) $1:1:\sqrt{2}$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Un triángulo 45-45-90 es también un triángulo isósceles.
Tiene dos lados (los catetos) de igual medida.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Un triángulo 45-45-90 tiene catetos de 3 cm. ¿Cuánto mide su hipotenusa?
3 × √2 = 3√2 cm.
Respuesta: A) $3\sqrt{2}$ cm
-
Un triángulo 45-45-90 con hipotenusa $5\sqrt{2}$ tiene catetos de 5.
5√2 ÷ √2 = 5, la medida de cada cateto.
Respuesta: Verdadero
-
Un triángulo 45-45-90 tiene catetos de 7 cm. ¿Cuál es su hipotenusa (aproximada)?
7 × 1,414 ≈ 9,9 cm.
Respuesta: A) 9,9 cm
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el error frecuente al calcular la hipotenusa de este triángulo?
Un error común es confundir la proporción de este triángulo con una duplicación simple.
Respuesta: A) Multiplicar por 2 en vez de por $\sqrt{2}$
-
Un cuadrado dividido por su diagonal genera dos triángulos 45-45-90.
La diagonal de un cuadrado forma dos triángulos rectángulos isósceles con ángulos 45°-45°-90°.
Respuesta: Verdadero
-
Un triángulo 45-45-90 tiene hipotenusa 10 cm. ¿Cuánto mide (aproximadamente) cada cateto?
10 ÷ √2 ≈ 7,07 cm.
Respuesta: A) 7,07 cm