Relación de lados en el triángulo notable 45°-45°-90°
Aplicar la proporción fija entre los lados de un triángulo rectángulo isósceles con ángulos 45°, 45° y 90°.
Introducción
Cuando un triángulo rectángulo tiene sus dos ángulos agudos iguales (45° cada uno), sus catetos también son iguales, y la hipotenusa queda determinada por una proporción fija respecto a ellos.
Explicación
Definición formal
En un triángulo rectángulo isósceles con ángulos 45°, 45° y 90°, si cada cateto mide $l$, la hipotenusa mide $l\sqrt{2}$, por el teorema de Pitágoras: $l^2+l^2=h^2 \Rightarrow h=l\sqrt{2}$.
Desarrollo didáctico
Si cada cateto mide 5 cm, la hipotenusa mide $5\sqrt{2}\approx7,07$ cm. La proporción entre los lados es siempre $1:1:\sqrt{2}$, sin importar el tamaño del triángulo.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Verifica que el triángulo sea rectángulo con ambos ángulos agudos de 45°.
- Paso 2: Identifica la medida de un cateto (los dos son iguales).
- Paso 3: Multiplica esa medida por $\sqrt{2}$ para obtener la hipotenusa.
Ejemplos
1 Un triángulo 45-45-90 tiene catetos de 4 cm cada uno.
- La hipotenusa mide $4\sqrt{2}\approx5,66$ cm.
2 Un triángulo 45-45-90 tiene hipotenusa $6\sqrt{2}$ cm.
- Cada cateto mide 6 cm, ya que la hipotenusa es el cateto multiplicado por $\sqrt{2}$.
3 ¿Los dos catetos de este triángulo son siempre iguales?
- Sí, porque los ángulos opuestos a ellos son iguales (45° cada uno).
4 ¿La proporción $1:1:\sqrt{2}$ cambia según el tamaño del triángulo?
- No, la proporción entre los lados es constante para cualquier triángulo 45-45-90.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Olvidar multiplicar por $\sqrt{2}$ al calcular la hipotenusa desde el cateto."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir esta proporción con la del triángulo 30-60-90."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Creer que los catetos pueden ser distintos en este triángulo notable."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
En un triángulo 45°-45°-90°, los catetos son iguales, y la hipotenusa mide $\sqrt{2}$ veces la medida de un cateto.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
En un triángulo 45-45-90, los dos catetos son iguales.
Al tener ángulos opuestos iguales (45° cada uno), los catetos también lo son.
Respuesta: Verdadero
-
Si un cateto mide $l$, ¿cuánto mide la hipotenusa en un triángulo 45-45-90?
Se deduce del teorema de Pitágoras con ambos catetos iguales a $l$.
Respuesta: A) $l\sqrt{2}$
-
En un triángulo 45-45-90, la proporción entre catetos e hipotenusa es:
Es la proporción fija de este triángulo notable.
Respuesta: A) $1:1:\sqrt{2}$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Un triángulo 45-45-90 es también un triángulo isósceles.
Tiene dos lados (los catetos) de igual medida.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Un triángulo 45-45-90 tiene catetos de 3 cm. ¿Cuánto mide su hipotenusa?
3 × √2 = 3√2 cm.
Respuesta: A) $3\sqrt{2}$ cm
-
Un triángulo 45-45-90 con hipotenusa $5\sqrt{2}$ tiene catetos de 5.
5√2 ÷ √2 = 5, la medida de cada cateto.
Respuesta: Verdadero
-
Un triángulo 45-45-90 tiene catetos de 7 cm. ¿Cuál es su hipotenusa (aproximada)?
7 × 1,414 ≈ 9,9 cm.
Respuesta: A) 9,9 cm
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el error frecuente al calcular la hipotenusa de este triángulo?
Un error común es confundir la proporción de este triángulo con una duplicación simple.
Respuesta: A) Multiplicar por 2 en vez de por $\sqrt{2}$
-
Un cuadrado dividido por su diagonal genera dos triángulos 45-45-90.
La diagonal de un cuadrado forma dos triángulos rectángulos isósceles con ángulos 45°-45°-90°.
Respuesta: Verdadero
-
Un triángulo 45-45-90 tiene hipotenusa 10 cm. ¿Cuánto mide (aproximadamente) cada cateto?
10 ÷ √2 ≈ 7,07 cm.
Respuesta: A) 7,07 cm