Relación de lados en el triángulo notable 45°-45°-90°
Resumen inicial
El triángulo notable 45°-45°-90° es un triángulo rectángulo isósceles donde los catetos son iguales ($a$) y la hipotenusa mide $a\sqrt{2}$.
Explicación en palabras simples
Imagina cortar un cuadrado perfecto por su diagonal. Obtienes dos triángulos idénticos con dos ángulos de 45° y una hipotenusa que mide el cateto multiplicado por $\sqrt{2}$.
Explicación formal
En el triángulo rectángulo notable 45°-45°-90°, por ser isósceles, sus catetos son iguales ($a = b$). Por el Teorema de Pitágoras, la hipotenusa $c$ cumple:
$$c = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$$
La alternativa correcta es 'k√2'.
Definiciones clave
- Triángulo 45°-45°-90°: Triángulo rectángulo isósceles notable.
- Factor $\sqrt{2}$: Razón constante entre la hipotenusa y cualquiera de los catetos.
Propiedades y relaciones importantes
- Catetos idénticos: Si los catetos miden $k$, la hipotenusa mide $k\sqrt{2}$.
- Mitad del cuadrado: Es la figura obtenida al trazar la diagonal de un cuadrado de lado $k$.
Ejemplo guiado
Una escuadra escolar notable 45°-45°-90° tiene catetos iguales que miden $a = 3\text{ cm}$. Calcula la longitud exacta de su hipotenusa $c$.
- Paso 1: Aplicar la relación constante del triángulo notable 45°-45°-90°: $c = a\sqrt{2}$.
- Paso 2: Sustituir $a = 3$: $c = 3\sqrt{2}\text{ cm}$.
- Paso 3: Concluir que la hipotenusa exacta mide $3\sqrt{2}\text{ cm}$ (aproximadamente 4.24 cm).
La alternativa correcta es '3√2 cm', por la relación $c = a\sqrt{2}$.
Procedimiento
- Paso 1: Identificar los datos dados y el teorema geométrico del concepto.
- Paso 2: Plantear la ecuación algebraica o relación correspondiente.
- Paso 3: Despejar la incógnita y verificar su coherencia geométrica.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
Evita confundir las propiedades de los lados con las de los ángulos interiores al clasificar la figura.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Despejar $x = 180 - (49 + 62) = 69^\circ$.
- Por Desigualdad Triangular, el tercer lado debe ser menor que 249 cm.
- Sí, es un teorema fundamental e invariante de la geometría euclidiana.
- No, porque 90° + 90° = 180°, dejando 0° para el tercer ángulo, lo cual imposibilita cerrar la figura.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Esta afirmación es correcta.
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Al terminar debes poder
Al finalizar este recurso podrás identificar y calcular las propiedades de relación de lados en el triángulo notable 45°-45°-90° resolviendo problemas geométricos con rigurosidad.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
En un triángulo 45-45-90, los dos catetos son iguales.
Al tener ángulos opuestos iguales (45° cada uno), los catetos también lo son.
Respuesta: Verdadero
-
Si un cateto mide $l$, ¿cuánto mide la hipotenusa en un triángulo 45-45-90?
Se deduce del teorema de Pitágoras con ambos catetos iguales a $l$.
Respuesta: A) $l\sqrt{2}$
-
En un triángulo 45-45-90, la proporción entre catetos e hipotenusa es:
Es la proporción fija de este triángulo notable.
Respuesta: A) $1:1:\sqrt{2}$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Un triángulo 45-45-90 es también un triángulo isósceles.
Tiene dos lados (los catetos) de igual medida.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Un triángulo 45-45-90 tiene catetos de 3 cm. ¿Cuánto mide su hipotenusa?
3 × √2 = 3√2 cm.
Respuesta: A) $3\sqrt{2}$ cm
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Un triángulo 45-45-90 con hipotenusa $5\sqrt{2}$ tiene catetos de 5.
5√2 ÷ √2 = 5, la medida de cada cateto.
Respuesta: Verdadero
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Un triángulo 45-45-90 tiene catetos de 7 cm. ¿Cuál es su hipotenusa (aproximada)?
7 × 1,414 ≈ 9,9 cm.
Respuesta: A) 9,9 cm
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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¿Cuál es el error frecuente al calcular la hipotenusa de este triángulo?
Un error común es confundir la proporción de este triángulo con una duplicación simple.
Respuesta: A) Multiplicar por 2 en vez de por $\sqrt{2}$
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Un cuadrado dividido por su diagonal genera dos triángulos 45-45-90.
La diagonal de un cuadrado forma dos triángulos rectángulos isósceles con ángulos 45°-45°-90°.
Respuesta: Verdadero
-
Un triángulo 45-45-90 tiene hipotenusa 10 cm. ¿Cuánto mide (aproximadamente) cada cateto?
10 ÷ √2 ≈ 7,07 cm.
Respuesta: A) 7,07 cm