Relación de lados en el triángulo notable 30°-60°-90°
Aplicar la proporción fija entre los lados de un triángulo rectángulo con ángulos 30°, 60° y 90°.
Introducción
Este triángulo, que se obtiene por ejemplo al dividir un triángulo equilátero por su altura, tiene una proporción de lados fija y muy usada en geometría y trigonometría.
Explicación
Definición formal
En un triángulo rectángulo con ángulos 30°, 60° y 90°, si el cateto opuesto a 30° mide $l$, el cateto opuesto a 60° mide $l\sqrt{3}$, y la hipotenusa mide $2l$.
Desarrollo didáctico
Si el cateto menor (opuesto a 30°) mide 5 cm, el cateto mayor (opuesto a 60°) mide $5\sqrt{3}\approx8,66$ cm, y la hipotenusa mide $2(5)=10$ cm.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica cuál cateto es el opuesto al ángulo de 30° (el cateto menor).
- Paso 2: Multiplica ese cateto por $\sqrt{3}$ para obtener el cateto opuesto a 60°.
- Paso 3: Multiplica el cateto menor por 2 para obtener la hipotenusa.
Ejemplos
1 Un triángulo 30-60-90 tiene cateto menor de 6 cm.
- El cateto mayor mide $6\sqrt{3}\approx10,39$ cm, y la hipotenusa mide 12 cm.
2 Un triángulo 30-60-90 tiene hipotenusa 14 cm.
- El cateto menor mide 14÷2=7 cm, y el mayor mide $7\sqrt{3}\approx12,12$ cm.
3 ¿El cateto opuesto a 60° es el más largo de los dos catetos?
- Sí, porque el ángulo mayor (60°, comparado con 30°) se opone al lado mayor entre los catetos.
4 ¿La hipotenusa es el doble del cateto menor?
- Sí, esa es la proporción fija de este triángulo notable.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir cuál cateto corresponde al opuesto de 30° y cuál al de 60°."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Multiplicar por $\sqrt{2}$ en vez de $\sqrt{3}$, confundiendo con el triángulo 45-45-90."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar que la hipotenusa es el doble del cateto menor, no del mayor."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
En un triángulo 30°-60°-90°, los lados están en proporción $1:\sqrt{3}:2$, correspondiendo respectivamente al cateto opuesto a 30°, al cateto opuesto a 60° y a la hipotenusa.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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En un triángulo 30-60-90, la proporción entre sus lados es:
Es la proporción fija de este triángulo notable.
Respuesta: A) $1:\sqrt{3}:2$
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En un triángulo 30-60-90, la hipotenusa es el doble del cateto menor.
Es parte de la proporción fija 1:√3:2.
Respuesta: Verdadero
-
Si el cateto menor mide $l$, ¿cuánto mide el cateto opuesto a 60°?
Es la proporción fija de este triángulo notable.
Respuesta: A) $l\sqrt{3}$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Un triángulo equilátero dividido por su altura genera dos triángulos 30-60-90.
La altura biseca el ángulo de 60° y forma dos triángulos rectángulos 30-60-90.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Un triángulo 30-60-90 tiene cateto menor de 4 cm. ¿Cuánto mide su hipotenusa?
La hipotenusa es el doble del cateto menor: 2×4=8 cm.
Respuesta: A) 8 cm
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Un triángulo 30-60-90 con hipotenusa 20 cm tiene cateto menor de 10 cm.
20 ÷ 2 = 10 cm.
Respuesta: Verdadero
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Un triángulo 30-60-90 tiene cateto menor de 5 cm. ¿Cuánto mide (aproximadamente) el cateto mayor?
5 × 1,732 ≈ 8,66 cm.
Respuesta: A) 8,66 cm
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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El triángulo 30-60-90 y el 45-45-90 tienen la misma proporción de lados.
Tienen proporciones distintas: $1:\sqrt{3}:2$ frente a $1:1:\sqrt{2}$.
Respuesta: Falso
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¿Cuál es el error frecuente al aplicar la proporción de este triángulo?
El error común es invertir cuál cateto es el menor y cuál el mayor según el ángulo opuesto.
Respuesta: A) Confundir el cateto opuesto a 30° con el opuesto a 60°
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Un triángulo 30-60-90 tiene cateto mayor (opuesto a 60°) de $6\sqrt{3}$ cm. ¿Cuánto mide su hipotenusa?
Cateto menor = $6\sqrt{3}/\sqrt{3}=6$; hipotenusa = 2×6=12 cm.
Respuesta: A) 12 cm