Verificación de existencia de un triángulo a partir de tres medidas de lados

Resumen inicial

La verificación de existencia de un triángulo a partir de tres medidas consiste en ordenar los lados de menor a mayor (a <= b <= c) y comprobar únicamente si la suma de los dos menores supera al mayor (a + b > c).

Explicación en palabras simples

Verificación de Existencia

Para saber rápidamente si tres números pueden formar un triángulo sin tener que probar todas las combinaciones, sigue este truco de 2 pasos: 1) Pon los números en fila de menor a mayor; 2) Suma los dos primeros. Si esa suma le gana al número más grande, ¡el triángulo sí existe! Si la suma es igual o menor, es imposible construirlo.

Explicación formal

Algoritmo de verificación

Dada una terna de longitudes $\{l_1, l_2, l_3\}$ con orden $l_1 \le l_2 \le l_3$, la terna forma un triángulo viable si y solo si se satisface la desigualdad simplificada:

$$l_3 < l_1 + l_2 \iff l_1 + l_2 - l_3 > 0$$

Desglose simbólico y geométrico

$l_3 = \max(l_1, l_2, l_3)$: Lado de máxima longitud.
$l_1, l_2$: Los dos lados menores.
Decisión binaria:
Si $l_3 < l_1 + l_2 \implies$ Existe triángulo no degenerado.
Si $l_3 \ge l_1 + l_2 \implies$ No existe triángulo.

Síntesis didáctica

Ordenar los lados de menor a mayor reduce el chequeo de tres desigualdades a una sola prueba rápida y concluyente.

Definiciones clave

Algoritmo de existencia: Procedimiento simplificado para validar ternas métricas en un solo paso de cálculo.
Terna geométrica admisible: Conjunto de 3 números que satisfacen $a + b > c$.
Criterio de ordenación: Ordenar $a \le b \le c$ para aislar la única desigualdad no trivial.

Propiedades y relaciones importantes

Construcción con regla y compás: El teorema equivale a que dos circunferencias centradas en los extremos del segmento base $c$ con radios $a$ y $b$ se corten en exactamente dos puntos en el semiplano superior e inferior.
Invarianza de escala: Si $\{a, b, c\}$ forma un triángulo, la terna escalada $\{ka, kb, kc\}$ con $k > 0$ también forma un triángulo semejante.

Ejemplo guiado

Ejemplo de Verificación

Verifica si las siguientes dos ternas de segmentos pueden formar un triángulo: Terna 1: $(14\text{ cm}, 6\text{ cm}, 9\text{ cm})$; Terna 2: $(3\text{ cm}, 11\text{ cm}, 7\text{ cm})$.

Paso 1: Analizar la Terna 1: ordenar de menor a mayor: $6 \le 9 \le 14$.
Paso 2: Sumar los dos menores: $6 + 9 = 15$. Comparar con el mayor: $15 > 14$. La Terna 1 **SÍ forma un triángulo**.
Paso 3: Analizar la Terna 2: ordenar de menor a mayor: $3 \le 7 \le 11$.
Paso 4: Sumar los dos menores: $3 + 7 = 10$. Comparar con el mayor: $10 < 11$. La Terna 2 **NO forma un triángulo**.
Paso 5: Concluir que solo la Terna 1 permite construir un triángulo.

Procedimiento

Paso 1: Escribir las 3 longitudes en orden ascendente: $a \le b \le c$.
Paso 2: Calcular la suma de los dos primeros valores: $S = a + b$.
Paso 3: Comparar $S$ con $c$. Si $S > c$, responder que sí existe el triángulo.
Paso 4: Si $S \le c$, responder que no es posible construir el triángulo.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Asegúrate de ordenar los números primero: si sumas el número más grande con uno chico siempre te dará mayor, engañando el resultado.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Mezclar unidades de medida ($5\text{ cm}$ con $50\text{ mm}$ o $0.5\text{ m}$)."

"Para verificar la existencia de un triángulo basta ordenar los lados y comprobar que $a + b > c$."

"Asumir que tres medidas enteras consecutivas siempre forman un triángulo (falla en $1, 2, 3$)."

"Creer que la verificación requiere calcular ángulos."

"Si la suma de los dos lados menores es menor o igual al lado mayor, los segmentos no pueden unirse para cerrar la figura."

"Sumar dos números cualesquiera sin verificar si son los dos menores."

"Concluir que no existe si el triángulo es muy alargado u obtuso pero cumple $a + b > c$."

Al terminar debes poder

Resumen de Verificación de Existencia

Validar de manera rápida y rigurosa la existencia de triángulos a partir de tres medidas dadas.

Ordenando las medidas ($a \le b \le c$) y evaluando la condición única $a + b > c$.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

Las medidas 5, 6 y 9 forman un triángulo.
¿Qué se debe hacer primero para verificar la existencia de un triángulo?
Ordenar simplifica la verificación a una sola comparación.

Respuesta: A) Ordenar las medidas de menor a mayor
Para verificar si tres medidas forman un triángulo, basta con comparar:
Es la condición crítica, suficiente si se ordenan las medidas.

Respuesta: A) La suma de las dos menores contra la mayor

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

Las medidas 1, 1 y 5 forman un triángulo.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Existe un triángulo con lados 4, 4 y 9.
¿Cuál de estos conjuntos SÍ forma un triángulo?
6+7=13>8; los otros conjuntos fallan la desigualdad.

Respuesta: A) 6, 7, 8
¿Existe un triángulo con lados 7, 8 y 12?
7+8=15>12, cumple la condición.

Respuesta: A) Sí, porque 7+8=15>12

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

¿Cuál es el error frecuente al verificar la existencia de un triángulo?
Sin ordenar, se puede comparar la suma incorrecta y llegar a una conclusión errónea.

Respuesta: A) No ordenar las medidas antes de comparar
Si la suma de las dos medidas menores es igual a la mayor, el triángulo existe.
¿Para qué valores enteros de $x$ existe un triángulo con lados 4, 9 y $x$?
x debe cumplir 5<x<13, y ser entero: valores de 6 a 12.

Respuesta: A) 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación