Verificación de existencia de un triángulo a partir de tres medidas de lados

Resumen inicial

La verificación de existencia de un triángulo a partir de tres medidas consiste en ordenar los lados de menor a mayor (a <= b <= c) y comprobar únicamente si la suma de los dos menores supera al mayor (a + b > c).

Explicación en palabras simples

Verificación de Existencia

Para saber rápidamente si tres números pueden formar un triángulo sin tener que probar todas las combinaciones, sigue este truco de 2 pasos: 1) Pon los números en fila de menor a mayor; 2) Suma los dos primeros. Si esa suma le gana al número más grande, ¡el triángulo sí existe! Si la suma es igual o menor, es imposible construirlo.

Explicación formal

Algoritmo de verificación

Dada una terna de longitudes $\{l_1, l_2, l_3\}$ con orden $l_1 \le l_2 \le l_3$, la terna forma un triángulo viable si y solo si se satisface la desigualdad simplificada:

$$l_3 < l_1 + l_2 \iff l_1 + l_2 - l_3 > 0$$

Desglose simbólico y geométrico

$l_3 = \max(l_1, l_2, l_3)$: Lado de máxima longitud.
$l_1, l_2$: Los dos lados menores.
Decisión binaria:
Si $l_3 < l_1 + l_2 \implies$ Existe triángulo no degenerado.
Si $l_3 \ge l_1 + l_2 \implies$ No existe triángulo.

Síntesis didáctica

Ordenar los lados de menor a mayor reduce el chequeo de tres desigualdades a una sola prueba rápida y concluyente.

Definiciones clave

Algoritmo de existencia: Procedimiento simplificado para validar ternas métricas en un solo paso de cálculo.
Terna geométrica admisible: Conjunto de 3 números que satisfacen $a + b > c$.
Criterio de ordenación: Ordenar $a \le b \le c$ para aislar la única desigualdad no trivial.

Propiedades y relaciones importantes

Construcción con regla y compás: El teorema equivale a que dos circunferencias centradas en los extremos del segmento base $c$ con radios $a$ y $b$ se corten en exactamente dos puntos en el semiplano superior e inferior.
Invarianza de escala: Si $\{a, b, c\}$ forma un triángulo, la terna escalada $\{ka, kb, kc\}$ con $k > 0$ también forma un triángulo semejante.

Ejemplo guiado

Ejemplo de Verificación

Verifica si las siguientes dos ternas de segmentos pueden formar un triángulo: Terna 1: $(14\text{ cm}, 6\text{ cm}, 9\text{ cm})$; Terna 2: $(3\text{ cm}, 11\text{ cm}, 7\text{ cm})$.

Paso 1: Analizar la Terna 1: ordenar de menor a mayor: $6 \le 9 \le 14$.
Paso 2: Sumar los dos menores: $6 + 9 = 15$. Comparar con el mayor: $15 > 14$. La Terna 1 **SÍ forma un triángulo**.
Paso 3: Analizar la Terna 2: ordenar de menor a mayor: $3 \le 7 \le 11$.
Paso 4: Sumar los dos menores: $3 + 7 = 10$. Comparar con el mayor: $10 < 11$. La Terna 2 **NO forma un triángulo**.
Paso 5: Concluir que solo la Terna 1 permite construir un triángulo.

Procedimiento

Paso 1: Escribir las 3 longitudes en orden ascendente: $a \le b \le c$.
Paso 2: Calcular la suma de los dos primeros valores: $S = a + b$.
Paso 3: Comparar $S$ con $c$. Si $S > c$, responder que sí existe el triángulo.
Paso 4: Si $S \le c$, responder que no es posible construir el triángulo.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Asegúrate de ordenar los números primero: si sumas el número más grande con uno chico siempre te dará mayor, engañando el resultado.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Asumir que tres medidas enteras consecutivas siempre forman un triángulo (falla en $1, 2, 3$)."

"Para verificar la existencia de un triángulo basta ordenar los lados y comprobar que $a + b > c$."

"Creer que la verificación requiere calcular ángulos."

"Mezclar unidades de medida ($5\text{ cm}$ con $50\text{ mm}$ o $0.5\text{ m}$)."

"Sumar dos números cualesquiera sin verificar si son los dos menores."

"Concluir que no existe si el triángulo es muy alargado u obtuso pero cumple $a + b > c$."

"Si la suma de los dos lados menores es menor o igual al lado mayor, los segmentos no pueden unirse para cerrar la figura."

Al terminar debes poder

Resumen de Verificación de Existencia

Validar de manera rápida y rigurosa la existencia de triángulos a partir de tres medidas dadas.

Ordenando las medidas ($a \le b \le c$) y evaluando la condición única $a + b > c$.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

Las medidas 5, 6 y 9 forman un triángulo.
¿Qué se debe hacer primero para verificar la existencia de un triángulo?
Ordenar simplifica la verificación a una sola comparación.

Respuesta: A) Ordenar las medidas de menor a mayor
Para verificar si tres medidas forman un triángulo, basta con comparar:
Es la condición crítica, suficiente si se ordenan las medidas.

Respuesta: A) La suma de las dos menores contra la mayor

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

Las medidas 1, 1 y 5 forman un triángulo.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Existe un triángulo con lados 4, 4 y 9.
¿Cuál de estos conjuntos SÍ forma un triángulo?
6+7=13>8; los otros conjuntos fallan la desigualdad.

Respuesta: A) 6, 7, 8
¿Existe un triángulo con lados 7, 8 y 12?
7+8=15>12, cumple la condición.

Respuesta: A) Sí, porque 7+8=15>12

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

¿Cuál es el error frecuente al verificar la existencia de un triángulo?
Sin ordenar, se puede comparar la suma incorrecta y llegar a una conclusión errónea.

Respuesta: A) No ordenar las medidas antes de comparar
Si la suma de las dos medidas menores es igual a la mayor, el triángulo existe.
¿Para qué valores enteros de $x$ existe un triángulo con lados 4, 9 y $x$?
x debe cumplir 5<x<13, y ser entero: valores de 6 a 12.

Respuesta: A) 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación