Verificación de existencia de un triángulo a partir de tres medidas de lados
Determinar si tres medidas dadas pueden efectivamente formar un triángulo, aplicando la desigualdad triangular.
Introducción
Antes de intentar dibujar o calcular propiedades de un triángulo con tres medidas dadas, conviene verificar si esas medidas realmente pueden formar un triángulo.
Explicación
Definición formal
Dadas tres medidas positivas $a\le b\le c$, existe un triángulo con esos lados si y solo si $a+b>c$ (las otras dos condiciones de la desigualdad triangular se cumplen automáticamente al ordenar así).
Desarrollo didáctico
Para verificar si 5, 6 y 9 forman un triángulo, se ordenan de menor a mayor (5, 6, 9) y se comprueba solo la condición crítica: $5+6=11>9$. Como se cumple, el triángulo existe.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Ordena las tres medidas de menor a mayor.
- Paso 2: Suma las dos medidas menores.
- Paso 3: Si esa suma es mayor que la medida más grande, el triángulo existe.
Ejemplos
1 ¿Existe un triángulo con lados 5, 6 y 9?
- Ordenados: 5, 6, 9. Como 5+6=11>9, el triángulo existe.
2 ¿Existe un triángulo con lados 2, 3 y 10?
- Ordenados: 2, 3, 10. Como 2+3=5, que no es mayor que 10, el triángulo no existe.
3 ¿Basta con comparar solo las dos medidas menores contra la mayor?
- Sí, si esa condición se cumple, las otras dos combinaciones se cumplen automáticamente.
4 ¿Tres medidas iguales siempre forman un triángulo?
- Sí, porque la suma de dos de ellas siempre supera a la tercera (que es igual a las otras).
Ejemplos Verdadero/Falso
"Verificar las tres combinaciones de suma en vez de solo la crítica (las dos menores contra la mayor)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Ordenar mal las medidas antes de comparar."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir 'mayor que' con 'mayor o igual que' en la condición de existencia."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Tres medidas forman un triángulo si y solo si cumplen la desigualdad triangular: la suma de las dos menores debe superar a la mayor.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Las medidas 5, 6 y 9 forman un triángulo.
5+6=11>9.
Respuesta: Verdadero
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¿Qué se debe hacer primero para verificar la existencia de un triángulo?
Ordenar simplifica la verificación a una sola comparación.
Respuesta: A) Ordenar las medidas de menor a mayor
-
Para verificar si tres medidas forman un triángulo, basta con comparar:
Es la condición crítica, suficiente si se ordenan las medidas.
Respuesta: A) La suma de las dos menores contra la mayor
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Las medidas 1, 1 y 5 forman un triángulo.
1+1=2, que no es mayor que 5.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Existe un triángulo con lados 4, 4 y 9.
4+4=8, que no es mayor que 9.
Respuesta: Falso
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¿Cuál de estos conjuntos SÍ forma un triángulo?
6+7=13>8; los otros conjuntos fallan la desigualdad.
Respuesta: A) 6, 7, 8
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¿Existe un triángulo con lados 7, 8 y 12?
7+8=15>12, cumple la condición.
Respuesta: A) Sí, porque 7+8=15>12
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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¿Cuál es el error frecuente al verificar la existencia de un triángulo?
Sin ordenar, se puede comparar la suma incorrecta y llegar a una conclusión errónea.
Respuesta: A) No ordenar las medidas antes de comparar
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Si la suma de las dos medidas menores es igual a la mayor, el triángulo existe.
Si la suma es igual (no mayor), el resultado es un triángulo degenerado, no uno real.
Respuesta: Falso
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¿Para qué valores enteros de $x$ existe un triángulo con lados 4, 9 y $x$?
x debe cumplir 5<x<13, y ser entero: valores de 6 a 12.
Respuesta: A) 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12