Verificación de existencia de un triángulo a partir de tres medidas de lados

Resumen inicial

El Teorema de la Desigualdad Triangular establece que la suma de las longitudes de dos lados cualesquiera de un triángulo debe ser estrictamente mayor que el tercer lado.

Explicación en palabras simples

Si intentas construir un triángulo con tres palitos de 2 cm, 3 cm y 10 cm, notarás que los dos más cortos no alcanzan a tocarse. Para que se cierre, dos lados sumados deben ser más largos que el tercero.

Explicación formal

Para que tres segmentos $a, b, c$ formen un triángulo válido, deben satisfacer simultáneamente la Desigualdad Triangular:

$$a + b > c, \quad a + c > b, \quad b + c > a$$

De forma equivalente: $|a - b| < c < a + b$.

Definiciones clave

Desigualdad triangular: Condición necesaria y suficiente para la existencia de un triángulo.
Caso degenerado: Cuando $a + b = c$, los tres puntos quedan colineales sobre una misma línea.

Propiedades y relaciones importantes

Criterio de existencia: Si la suma de los dos lados menores supera al mayor, el triángulo existe.
Rango del tercer lado: Dado $a$ y $b$, el tercer lado $c$ debe cumplir $|a - b| < c < a + b$.

Ejemplo guiado

Se dispone de tres varillas metálicas de longitudes $a = 79\text{ cm}$, $b = 107\text{ cm}$ y $c = 191\text{ cm}$. Determina si es posible construir un triángulo con ellas aplicando la Desigualdad Triangular.

Paso 1: Sumar las dos varillas de menor longitud: $a + b = 79 + 107 = 186\text{ cm}$.
Paso 2: Comparar la suma con la tercera varilla $c = 191\text{ cm}$: $186 < 191$.
Paso 3: Concluir que NO es posible construir el triángulo porque $a + b < c$, violando la Desigualdad Triangular.

Procedimiento

Paso 1: Identificar los datos dados y el teorema geométrico del concepto.
Paso 2: Plantear la ecuación algebraica o relación correspondiente.
Paso 3: Despejar la incógnita y verificar su coherencia geométrica.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Evita confundir las propiedades de los lados con las de los ángulos interiores al clasificar la figura.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Afirmar que un triángulo isósceles tiene sus tres lados iguales (eso corresponde al equilátero)."

"En todo triángulo rectángulo, la hipotenusa es el lado de mayor longitud opuesto al ángulo recto."

"La suma de los ángulos interiores de todo triángulo en el plano es siempre igual a 180°."

"Declarar la suma de ángulos interiores (180°) con la suma de ángulos exteriores (360°)."

"Declarar los catetos con la hipotenusa en triángulos rectángulos orientados en distintas posiciones."

"Declarar que cualquier trío de medidas de varillas puede formar un triángulo sin verificar la Desigualdad Triangular."

"Omitir que en un triángulo equilátero cada uno de sus tres ángulos interiores mide exactamente 60°."

Al terminar debes poder

Al finalizar este recurso podrás identificar y calcular las propiedades de verificación de existencia de un triángulo a partir de tres medidas de lados resolviendo problemas geométricos con rigurosidad.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

Las medidas 5, 6 y 9 forman un triángulo.
¿Qué se debe hacer primero para verificar la existencia de un triángulo?
Ordenar simplifica la verificación a una sola comparación.

Respuesta: A) Ordenar las medidas de menor a mayor
Para verificar si tres medidas forman un triángulo, basta con comparar:
Es la condición crítica, suficiente si se ordenan las medidas.

Respuesta: A) La suma de las dos menores contra la mayor

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

Las medidas 1, 1 y 5 forman un triángulo.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Existe un triángulo con lados 4, 4 y 9.
¿Cuál de estos conjuntos SÍ forma un triángulo?
6+7=13>8; los otros conjuntos fallan la desigualdad.

Respuesta: A) 6, 7, 8
¿Existe un triángulo con lados 7, 8 y 12?
7+8=15>12, cumple la condición.

Respuesta: A) Sí, porque 7+8=15>12

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

¿Cuál es el error frecuente al verificar la existencia de un triángulo?
Sin ordenar, se puede comparar la suma incorrecta y llegar a una conclusión errónea.

Respuesta: A) No ordenar las medidas antes de comparar
Si la suma de las dos medidas menores es igual a la mayor, el triángulo existe.
¿Para qué valores enteros de $x$ existe un triángulo con lados 4, 9 y $x$?
x debe cumplir 5<x<13, y ser entero: valores de 6 a 12.

Respuesta: A) 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación