Desigualdad triangular: un lado debe ser mayor que la diferencia de los otros dos
Resumen inicial
El Teorema de la Desigualdad Triangular establece que la suma de las longitudes de dos lados cualesquiera de un triángulo debe ser estrictamente mayor que el tercer lado.
Explicación en palabras simples
Si intentas construir un triángulo con tres palitos de 2 cm, 3 cm y 10 cm, notarás que los dos más cortos no alcanzan a tocarse. Para que se cierre, dos lados sumados deben ser más largos que el tercero.
Explicación formal
Para que tres segmentos $a, b, c$ formen un triángulo válido, deben satisfacer simultáneamente la Desigualdad Triangular:
$$a + b > c, \quad a + c > b, \quad b + c > a$$
De forma equivalente: $|a - b| < c < a + b$.
La alternativa correcta es 'La suma de dos lados debe ser estrictamente mayor que el tercer lado'.
Definiciones clave
- Desigualdad triangular: Condición necesaria y suficiente para la existencia de un triángulo.
- Caso degenerado: Cuando $a + b = c$, los tres puntos quedan colineales sobre una misma línea.
Propiedades y relaciones importantes
- Criterio de existencia: Si la suma de los dos lados menores supera al mayor, el triángulo existe.
- Rango del tercer lado: Dado $a$ y $b$, el tercer lado $c$ debe cumplir $|a - b| < c < a + b$.
Ejemplo guiado
Se dispone de tres varillas metálicas de longitudes $a = 76\text{ cm}$, $b = 103\text{ cm}$ y $c = 184\text{ cm}$. Determina si es posible construir un triángulo con ellas aplicando la Desigualdad Triangular.
- Paso 1: Sumar las dos varillas de menor longitud: $a + b = 76 + 103 = 179\text{ cm}$.
- Paso 2: Comparar la suma con la tercera varilla $c = 184\text{ cm}$: $179 < 184$.
- Paso 3: Concluir que NO es posible construir el triángulo porque $a + b < c$, violando la Desigualdad Triangular.
La alternativa correcta es 'No, porque la suma de las dos primeras es menor que la tercera'.
Procedimiento
- Paso 1: Identificar los datos dados y el teorema geométrico del concepto.
- Paso 2: Plantear la ecuación algebraica o relación correspondiente.
- Paso 3: Despejar la incógnita y verificar su coherencia geométrica.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
Evita confundir las propiedades de los lados con las de los ángulos interiores al clasificar la figura.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Despejar $x = 180 - (79 + 52) = 49^\circ$.
- Por Desigualdad Triangular, el tercer lado debe ser menor que 179 cm.
- Sí, es un teorema fundamental e invariante de la geometría euclidiana.
- No, porque 90° + 90° = 180°, dejando 0° para el tercer ángulo, lo cual imposibilita cerrar la figura.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Al finalizar este recurso podrás identificar y calcular las propiedades de desigualdad triangular: un lado debe ser mayor que la diferencia de los otros dos resolviendo problemas geométricos con rigurosidad.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
La desigualdad triangular, expresada por diferencia, dice que cada lado debe ser:
Es la forma equivalente de la desigualdad triangular.
Respuesta: A) Mayor que la diferencia de los otros dos
-
Para lados 4, 5 y 7, se cumple que 7 es mayor que |5−4|.
|5−4|=1, y 7>1.
Respuesta: Verdadero
-
¿Por qué se usa valor absoluto en esta desigualdad?
El valor absoluto asegura una diferencia siempre positiva.
Respuesta: A) Porque la diferencia podría salir negativa según el orden de resta
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Esta desigualdad es una condición distinta e independiente de la desigualdad por suma.
Ambas formas son matemáticamente equivalentes, solo expresadas de manera distinta.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Para lados 6, 8 y 10, ¿es 10 mayor que |8−6|?
|8−6|=2, y 10>2.
Respuesta: A) Sí, 10>2
-
Para lados 3, 4 y 9, se cumple que 9 es mayor que |4−3|.
|4−3|=1, y 9>1; pero igual hay que revisar las otras dos condiciones para saber si el triángulo existe.
Respuesta: Verdadero
-
Un lado mide 3 y otros dos miden 10 y 5. ¿Se cumple 3 > |10−5|?
|10−5|=5, y 3 no es mayor que 5: esos lados NO forman un triángulo.
Respuesta: A) No, 3<5
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el error frecuente al aplicar esta desigualdad?
Sin valor absoluto, una resta en el orden incorrecto da un resultado negativo sin sentido para comparar.
Respuesta: A) Olvidar el valor absoluto y usar una diferencia negativa
-
Si un triángulo cumple la desigualdad por suma, automáticamente cumple también la desigualdad por diferencia.
Son formas algebraicamente equivalentes de la misma condición.
Respuesta: Verdadero
-
Un triángulo tiene lados 9 y 4. ¿Cuál es el rango válido para el tercer lado $x$, usando la forma por diferencia?
x debe ser mayor que |9−4|=5 y menor que 9+4=13.
Respuesta: A) 5 < x < 13