Desigualdad triangular: un lado debe ser mayor que la diferencia de los otros dos

Resumen inicial

En todo triángulo euclidiano, la longitud de cualquier lado es estrictamente mayor que el valor absoluto de la diferencia de las longitudes de los otros dos lados, acotándose como |a - b| < c < a + b.

Explicación en palabras simples

Desigualdad con Diferencia

Si conoces dos lados de un triángulo (por ejemplo $5\text{ cm}$ y $8\text{ cm}$), el tercer lado no puede medir cualquier número: no puede ser más grande que su suma ($8 + 5 = 13\text{ cm}$), pero tampoco puede ser más pequeño que su resta ($8 - 5 = 3\text{ cm}$). Por lo tanto, el tercer lado debe medir obligatoriamente entre $3\text{ cm}$ y $13\text{ cm}$.

Explicación formal

Teorema formal (Diferencia de lados)

En todo triángulo euclidiano, la longitud de cualquier lado es estrictamente mayor que el valor absoluto de la diferencia de las longitudes de los otros dos lados:

$$|a - b| < c \quad \land \quad |b - c| < a \quad \land \quad |a - c| < b$$

Desglose simbólico y geométrico

$|a - b|$: Distancia mínima teórica entre los extremos cuando el ángulo intermedio se aproxima a cero.
Desigualdad doble combinada: $|a - b| < c < a + b$.

Síntesis didáctica

Esta cota inferior garantiza que los dos lados menores no se cierren completamente uno sobre otro, asegurando la apertura del triángulo.

Definiciones clave

Criterio de la diferencia: Condición de que un lado debe ser mayor que la diferencia de los otros dos ($c > |a - b|$).
Doble acotación métrica: Relación $|a - b| < c < a + b$.
Intervalo de valores admisibles: Conjunto $(|a - b|, a + b)$ de números reales positivos para el tercer lado.

Propiedades y relaciones importantes

Valores enteros posibles: Si las longitudes son enteras, el número de valores enteros admisibles para el tercer lado es exactamente $2\min(a, b) - 1$.
Triángulos degenerados extremos: Si $c = |a - b|$ o $c = a + b$, la figura degenera en un segmento recto colineal de área cero.

Ejemplo guiado

Ejemplo de Doble Desigualdad

Dos lados de un triángulo miden $a = 7\text{ cm}$ y $b = 10\text{ cm}$. Determina el rango de valores posibles para la longitud del tercer lado $c$ y cuántos valores enteros pares puede tomar.

Paso 1: Calcular la diferencia positiva de los lados conocidos: $|10 - 7| = 3\text{ cm}$.
Paso 2: Calcular la suma de los lados conocidos: $10 + 7 = 17\text{ cm}$.
Paso 3: Plantear la doble desigualdad: $3 < c < 17$.
Paso 4: Identificar los enteros en el intervalo $(3, 17)$: $\{4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16\}$.
Paso 5: Filtrar los valores pares: $\{4, 6, 8, 10, 12, 14, 16\}$ (en total 7 valores enteros pares posibles).

Procedimiento

Paso 1: Identificar las longitudes de los dos lados conocidos $a$ y $b$.
Paso 2: Calcular el límite inferior: $|a - b|$.
Paso 3: Calcular el límite superior: $a + b$.
Paso 4: Escribir la doble desigualdad $|a - b| < c < a + b$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

No olvides que el lado tampoco puede ser menor o igual que la resta: un lado de 2 cm con lados de 5 y 8 cm no puede cerrar el triángulo.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Considerar solo el límite superior ($c < a + b$) y descuidar el límite inferior ($c > |a - b|$)."

"Aceptar los valores extremos con igualdad ($c = a - b$ o $c = a + b$)."

"Olvidar que las tres longitudes deben ser números positivos reales."

"Cualquier lado de un triángulo es estrictamente mayor que la diferencia de los otros dos."

"El rango de existencia de un tercer lado está dado por $|a - b| < c < a + b$."

"Confundir la cantidad de números enteros posibles con el valor numérico de la diferencia."

"Restar en orden incorrecto obteniendo un límite inferior negativo."

Al terminar debes poder

Resumen de Acotación por Diferencia

Acotar y calcular el rango de medidas posibles para el tercer lado de un triángulo.

Aplicando la doble desigualdad métrica $|a - b| < c < a + b$.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

Para lados 4, 5 y 7, se cumple que 7 es mayor que |5−4|.
La desigualdad triangular, expresada por diferencia, dice que cada lado debe ser:
Es la forma equivalente de la desigualdad triangular.

Respuesta: A) Mayor que la diferencia de los otros dos
¿Por qué se usa valor absoluto en esta desigualdad?
El valor absoluto asegura una diferencia siempre positiva.

Respuesta: A) Porque la diferencia podría salir negativa según el orden de resta

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

Esta desigualdad es una condición distinta e independiente de la desigualdad por suma.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Para lados 6, 8 y 10, ¿es 10 mayor que |8−6|?
|8−6|=2, y 10>2.

Respuesta: A) Sí, 10>2
Para lados 3, 4 y 9, se cumple que 9 es mayor que |4−3|.
Un lado mide 3 y otros dos miden 10 y 5. ¿Se cumple 3 > |10−5|?
|10−5|=5, y 3 no es mayor que 5: esos lados NO forman un triángulo.

Respuesta: A) No, 3<5

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

¿Cuál es el error frecuente al aplicar esta desigualdad?
Sin valor absoluto, una resta en el orden incorrecto da un resultado negativo sin sentido para comparar.

Respuesta: A) Olvidar el valor absoluto y usar una diferencia negativa
Si un triángulo cumple la desigualdad por suma, automáticamente cumple también la desigualdad por diferencia.
Un triángulo tiene lados 9 y 4. ¿Cuál es el rango válido para el tercer lado $x$, usando la forma por diferencia?
x debe ser mayor que |9−4|=5 y menor que 9+4=13.

Respuesta: A) 5 < x < 13

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación