Desigualdad triangular: un lado debe ser mayor que la diferencia de los otros dos
Aplicar la forma equivalente de la desigualdad triangular expresada como diferencia de lados.
Introducción
La misma condición de existencia de un triángulo puede escribirse de otra forma: cada lado debe ser mayor que la diferencia (positiva) de los otros dos.
Explicación
Definición formal
Para un triángulo de lados $a$, $b$ y $c$ se cumple $|a-b|<c$, $|b-c|<a$ y $|a-c|<b$; esta es la forma equivalente de la desigualdad triangular expresada por diferencia.</p>
Desarrollo didáctico
Con lados 4, 5 y 7: $|5-4|=1<7$, $|7-5|=2<4$ y $|7-4|=3<5$; las tres se cumplen, confirmando que estos lados sí forman un triángulo.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Calcula la diferencia (en valor absoluto) entre cada par de lados.
- Paso 2: Compara esa diferencia con el tercer lado restante.
- Paso 3: Si el tercer lado siempre supera la diferencia correspondiente, el triángulo es válido.
Ejemplos
1 Comprueba con diferencias si 4, 5 y 7 forman un triángulo.
- |5−4|=1<7, |7−5|=2<4, |7−4|=3<5: se cumplen las tres condiciones.
2 Comprueba con diferencias si 2, 3 y 8 forman un triángulo.
- |8−3|=5, que no es menor que 2: no se cumple la condición.
3 ¿Esta forma es equivalente a la desigualdad por suma?
- Sí, ambas expresan la misma condición de existencia del triángulo.
4 ¿Se necesita valor absoluto en esta desigualdad?
- Sí, porque la diferencia entre dos lados podría salir negativa si se restan en el orden incorrecto.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Olvidar el valor absoluto y obtener una diferencia negativa sin sentido."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir esta desigualdad con la versión por suma de lados."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Verificar solo una de las tres combinaciones posibles."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
En todo triángulo, cada lado debe ser mayor que el valor absoluto de la diferencia de los otros dos.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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La desigualdad triangular, expresada por diferencia, dice que cada lado debe ser:
Es la forma equivalente de la desigualdad triangular.
Respuesta: A) Mayor que la diferencia de los otros dos
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Para lados 4, 5 y 7, se cumple que 7 es mayor que |5−4|.
|5−4|=1, y 7>1.
Respuesta: Verdadero
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¿Por qué se usa valor absoluto en esta desigualdad?
El valor absoluto asegura una diferencia siempre positiva.
Respuesta: A) Porque la diferencia podría salir negativa según el orden de resta
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Esta desigualdad es una condición distinta e independiente de la desigualdad por suma.
Ambas formas son matemáticamente equivalentes, solo expresadas de manera distinta.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Para lados 6, 8 y 10, ¿es 10 mayor que |8−6|?
|8−6|=2, y 10>2.
Respuesta: A) Sí, 10>2
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Para lados 3, 4 y 9, se cumple que 9 es mayor que |4−3|.
|4−3|=1, y 9>1; pero igual hay que revisar las otras dos condiciones para saber si el triángulo existe.
Respuesta: Verdadero
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Un lado mide 3 y otros dos miden 10 y 5. ¿Se cumple 3 > |10−5|?
|10−5|=5, y 3 no es mayor que 5: esos lados NO forman un triángulo.
Respuesta: A) No, 3<5
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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¿Cuál es el error frecuente al aplicar esta desigualdad?
Sin valor absoluto, una resta en el orden incorrecto da un resultado negativo sin sentido para comparar.
Respuesta: A) Olvidar el valor absoluto y usar una diferencia negativa
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Si un triángulo cumple la desigualdad por suma, automáticamente cumple también la desigualdad por diferencia.
Son formas algebraicamente equivalentes de la misma condición.
Respuesta: Verdadero
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Un triángulo tiene lados 9 y 4. ¿Cuál es el rango válido para el tercer lado $x$, usando la forma por diferencia?
x debe ser mayor que |9−4|=5 y menor que 9+4=13.
Respuesta: A) 5 < x < 13