Desigualdad triangular: la suma de dos lados debe ser mayor que el tercer lado

Resumen inicial

El Teorema de la Desigualdad Triangular establece que la suma de las longitudes de dos lados cualesquiera de un triángulo debe ser estrictamente mayor que el tercer lado.

Explicación en palabras simples

Si intentas construir un triángulo con tres palitos de 2 cm, 3 cm y 10 cm, notarás que los dos más cortos no alcanzan a tocarse. Para que se cierre, dos lados sumados deben ser más largos que el tercero.

Explicación formal

Para que tres segmentos $a, b, c$ formen un triángulo válido, deben satisfacer simultáneamente la Desigualdad Triangular:

$$a + b > c, \quad a + c > b, \quad b + c > a$$

De forma equivalente: $|a - b| < c < a + b$.

Definiciones clave

Desigualdad triangular: Condición necesaria y suficiente para la existencia de un triángulo.
Caso degenerado: Cuando $a + b = c$, los tres puntos quedan colineales sobre una misma línea.

Propiedades y relaciones importantes

Criterio de existencia: Si la suma de los dos lados menores supera al mayor, el triángulo existe.
Rango del tercer lado: Dado $a$ y $b$, el tercer lado $c$ debe cumplir $|a - b| < c < a + b$.

Ejemplo guiado

Se dispone de tres varillas metálicas de longitudes $a = 73\text{ cm}$, $b = 99\text{ cm}$ y $c = 177\text{ cm}$. Determina si es posible construir un triángulo con ellas aplicando la Desigualdad Triangular.

Paso 1: Sumar las dos varillas de menor longitud: $a + b = 73 + 99 = 172\text{ cm}$.
Paso 2: Comparar la suma con la tercera varilla $c = 177\text{ cm}$: $172 < 177$.
Paso 3: Concluir que NO es posible construir el triángulo porque $a + b < c$, violando la Desigualdad Triangular.

Procedimiento

Paso 1: Identificar los datos dados y el teorema geométrico del concepto.
Paso 2: Plantear la ecuación algebraica o relación correspondiente.
Paso 3: Despejar la incógnita y verificar su coherencia geométrica.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Evita confundir las propiedades de los lados con las de los ángulos interiores al clasificar la figura.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Declarar los catetos con la hipotenusa en triángulos rectángulos orientados en distintas posiciones."

"Declarar que cualquier trío de medidas de varillas puede formar un triángulo sin verificar la Desigualdad Triangular."

"Afirmar que un triángulo isósceles tiene sus tres lados iguales (eso corresponde al equilátero)."

"Declarar la suma de ángulos interiores (180°) con la suma de ángulos exteriores (360°)."

"La suma de los ángulos interiores de todo triángulo en el plano es siempre igual a 180°."

"En todo triángulo rectángulo, la hipotenusa es el lado de mayor longitud opuesto al ángulo recto."

"Omitir que en un triángulo equilátero cada uno de sus tres ángulos interiores mide exactamente 60°."

Al terminar debes poder

Al finalizar este recurso podrás identificar y calcular las propiedades de desigualdad triangular: la suma de dos lados debe ser mayor que el tercer lado resolviendo problemas geométricos con rigurosidad.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

¿Cuántas combinaciones de suma de lados deben verificarse?
Se debe verificar cada par de lados contra el tercero.

Respuesta: A) Tres
Los lados 3, 4 y 5 cumplen la desigualdad triangular.
La desigualdad triangular establece que la suma de dos lados debe ser:
Es la condición de existencia de un triángulo.

Respuesta: A) Mayor que el tercer lado

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

Los lados 1, 2 y 10 pueden formar un triángulo.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Los lados 5, 5 y 11 pueden formar un triángulo.
¿Cuál de estos conjuntos de lados NO puede formar un triángulo?
2+3=5, que no es mayor que 6.

Respuesta: A) 2, 3, 6
¿Los lados 6, 8 y 10 pueden formar un triángulo?
6+8=14>10, 8+10=18>6, 6+10=16>8.

Respuesta: A) Sí, cumplen las tres condiciones

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

Si la suma de los dos lados menores supera al lado mayor, entonces las otras dos condiciones se cumplen automáticamente.
Un triángulo tiene lados 5, 8 y $x$. ¿Cuál es el rango válido de $x$?
Debe cumplir x<5+8=13 y x>8−5=3.

Respuesta: A) 3 < x < 13
¿Cuál es el error frecuente al aplicar la desigualdad triangular?
Basta con que falle una sola condición para que el triángulo no exista, por eso hay que revisar las tres.

Respuesta: A) Verificar solo una de las tres combinaciones

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación