Simetría central respecto del origen de coordenadas
Aplicar la regla específica de la simetría central respecto del origen del sistema cartesiano: cada punto P(x,y) se transforma en P'(-x,-y).
Introducción
Cuando el centro de simetría es exactamente el origen del plano, la regla se simplifica: solo hay que cambiar el signo de ambas coordenadas.
Explicación
Definición formal
Si el centro de simetría es el origen $(0,0)$, la fórmula general $P'=(2x_O-x_P,\,2y_O-y_P)$ se simplifica a $P'=(-x_P,-y_P)$, ya que $x_O=y_O=0$.
Desarrollo didáctico
En la figura, el punto $P(-3,2)$ tiene como imagen respecto del origen $P'(3,-2)$: simplemente se invierte el signo de cada coordenada.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica las coordenadas del punto P(x,y) que se desea transformar.
- Paso 2: Invierte el signo de la abscisa: -x.
- Paso 3: Invierte el signo de la ordenada: -y, obteniendo el punto imagen P'(-x,-y).
Ejemplos
1 El punto P(-3,2) se refleja respecto del origen.
- P'=(-(-3), -2)=(3,-2).
2 El punto P(5,8) se refleja respecto del origen.
- P'=(-5,-8).
3 ¿Esta simetría cambia el signo de ambas coordenadas?
- Sí, ambas coordenadas cambian de signo simultáneamente.
4 ¿El origen es su propia imagen bajo esta simetría?
- Sí, el origen (0,0) se transforma en sí mismo, ya que -0=0.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Invertir el signo de solo una de las dos coordenadas."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir esta simetría con la reflexión respecto de un eje (que solo cambia el signo de una coordenada)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Aplicar la fórmula general del punto medio sin simplificarla al caso particular del origen."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La simetría central respecto del origen $(0,0)$ transforma cada punto $P(x,y)$ en $P'(-x,-y)$: se invierte el signo de ambas coordenadas.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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La simetría central respecto del origen transforma P(x,y) en:
Se invierte el signo de ambas coordenadas.
Respuesta: A) P'(-x,-y)
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El punto (-3,2) se transforma en (3,-2) bajo esta simetría.
Se invierte el signo de ambas coordenadas.
Respuesta: Verdadero
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¿Qué punto es su propia imagen bajo esta simetría?
El origen es el único punto fijo de esta transformación.
Respuesta: A) El origen (0,0)
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Esta simetría cambia el signo de solo una de las dos coordenadas.
Cambia el signo de ambas coordenadas simultáneamente.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Cuál es la imagen de P(7,-4) bajo la simetría respecto del origen?
P'=(-7,4).
Respuesta: A) (-7,4)
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El punto (0,9) se transforma en (0,-9) bajo esta simetría.
P'=(-0,-9)=(0,-9).
Respuesta: Verdadero
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Si la imagen de un punto bajo esta simetría es (-6,-8), ¿cuál era el punto original?
El punto original es el opuesto de la imagen: (6,8).
Respuesta: A) (6,8)
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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¿Cuál es el error frecuente al aplicar esta simetría?
Es un error común olvidar cambiar el signo de ambas coordenadas.
Respuesta: A) Cambiar el signo de solo una coordenada
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Aplicar dos veces seguidas la simetría respecto del origen devuelve el punto a su posición original.
-(-x)=x y -(-y)=y, devolviendo el punto original.
Respuesta: Verdadero
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Un videojuego refleja la posición de un objeto (8,-5) respecto del centro de la pantalla, que coincide con el origen del sistema de coordenadas. ¿Cuál es la nueva posición del objeto?
P'=(-8,5), invirtiendo el signo de ambas coordenadas.
Respuesta: A) (-8,5)