Simetría axial respecto de rectas horizontales
Aplicar la regla de la simetría axial respecto de una recta horizontal genérica y=k (distinta del eje X), calculando la imagen de un punto mediante la fórmula P'(x, 2k-y).
Introducción
Reflejar respecto de una recta horizontal cualquiera (no necesariamente el eje X) sigue la misma lógica de 'espejo', pero centrada en esa recta específica.
Explicación
Definición formal
Si el eje de simetría es la recta horizontal $y=k$, cada punto $P(x,y)$ se transforma en $P'(x,\,2k-y)$, generalizando la fórmula del eje X (que corresponde al caso particular $k=0$).
Desarrollo didáctico
En la figura, respecto de la recta $y=-2$, el punto $P(2,0)$ se refleja en $P'(2,\,2\times(-2)-0)=(2,-4)$: la distancia de $P$ a la recta (2 unidades) es igual a la distancia de $P'$ a la recta.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica la recta horizontal y=k que actúa como eje de simetría.
- Paso 2: Aplica la fórmula P'=(x, 2k-y) al punto original P(x,y).
- Paso 3: Verifica que la distancia de P a la recta sea igual a la distancia de P' a la recta.
Ejemplos
1 La recta y=-2 es el eje, y el punto es P(2,0).
- P'=(2, 2×(-2)-0)=(2,-4).
2 La recta y=3 es el eje, y el punto es P(5,1).
- P'=(5, 2×3-1)=(5,5).
3 ¿Esta fórmula se reduce a la simetría respecto del eje X cuando k=0?
- Sí, si k=0, P'=(x, 2×0-y)=(x,-y), exactamente la fórmula de simetría respecto del eje X.
4 ¿La abscisa del punto cambia en esta simetría?
- No, al ser una recta horizontal, solo se ve afectada la ordenada; la abscisa permanece igual.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Usar la fórmula del eje X (y'=-y) en vez de la fórmula general (y'=2k-y) cuando la recta no es el eje X."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar multiplicar k por 2 en la fórmula."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Cambiar la abscisa del punto, cuando en realidad debe permanecer igual."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La simetría axial respecto de una recta horizontal $y=k$ transforma cada punto $P(x,y)$ en $P'(x,\,2k-y)$: la abscisa se mantiene igual, y la ordenada se refleja respecto de $k$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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La simetría respecto de la recta horizontal y=k transforma P(x,y) en:
Es la fórmula general de simetría respecto de una recta horizontal.
Respuesta: A) P'(x, 2k-y)
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Respecto de la recta y=-2, el punto (2,0) se transforma en (2,-4).
2×(-2)-0=-4.
Respuesta: Verdadero
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¿A qué se reduce esta fórmula cuando k=0?
Es un caso particular de esta fórmula general.
Respuesta: A) A la simetría respecto del eje X: P'(x,-y)
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Esta simetría cambia la abscisa del punto.
Solo cambia la ordenada; la abscisa permanece igual.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Respecto de la recta y=3, ¿cuál es la imagen de P(5,1)?
2×3-1=5.
Respuesta: A) (5,5)
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Respecto de la recta y=4, el punto (1,6) se transforma en (1,2).
2×4-6=2.
Respuesta: Verdadero
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Si la imagen de un punto respecto de la recta y=5 es (3,12), ¿cuál era el punto original?
y=2×5-12=-2.
Respuesta: A) (3,-2)
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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La distancia entre P y la recta y=k es igual a la distancia entre P' y esa misma recta.
Es la propiedad de equidistancia respecto del eje de simetría.
Respuesta: Verdadero
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¿Cuál es el error frecuente al aplicar esta simetría?
Es un error común aplicar la fórmula simplificada cuando la recta no es el eje X.
Respuesta: A) Usar la fórmula del eje X (sin considerar k) para cualquier recta horizontal
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Un edificio tiene un piso técnico simétrico respecto de una viga horizontal ubicada en y=10. Si una tubería está en la posición (4,6), ¿en qué posición debe ubicarse la tubería simétrica?
2×10-6=14.
Respuesta: A) (4,14)