Determinación del vector traslación a partir de una imagen y su preimagen
Determinar el vector traslación que relaciona una figura (o punto) con su imagen, restando las coordenadas de un punto y su correspondiente imagen.
Introducción
Si conoces un punto antes y después de moverse, puedes 'deducir' exactamente cuál fue el vector de movimiento que se aplicó.
Explicación
Definición formal
Si $P(x,y)$ es un punto de la preimagen y $P'(x',y')$ es su correspondiente en la imagen, el vector traslación es $\vec{v}=P'-P=(x'-x,\,y'-y)$. Basta con conocer un único par de puntos correspondientes para determinar el vector completo.
Desarrollo didáctico
En la figura, dado $P(-4,-2)$ y su imagen $P'(2,3)$, el vector traslación es $\vec{v}=(2-(-4),\,3-(-2))=(6,5)$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica un punto de la preimagen P(x,y) y su correspondiente en la imagen P'(x',y').
- Paso 2: Resta las coordenadas: x'-x para la componente horizontal, y'-y para la componente vertical.
- Paso 3: El vector traslación es v=(x'-x, y'-y); verifica aplicándolo a otro par de puntos correspondientes si están disponibles.
Ejemplos
1 P(-4,-2) se transforma en P'(2,3).
- v=(2-(-4), 3-(-2))=(6,5).
2 Otro punto Q(1,4) se transforma en Q'(7,9) bajo la misma traslación.
- El vector debe coincidir: (7-1, 9-4)=(6,5), igual al calculado con P y P', confirmando que es la misma traslación.
3 ¿Basta con un solo par de puntos correspondientes para determinar el vector?
- Sí, un único par (preimagen, imagen) es suficiente para determinar completamente el vector traslación.
4 ¿El orden de la resta importa al determinar el vector?
- Sí, siempre se debe restar imagen menos preimagen (P' menos P), no al revés.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Restar preimagen menos imagen, en vez de imagen menos preimagen, obteniendo el vector opuesto por error."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir las coordenadas de la preimagen con las de la imagen al hacer la resta."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Necesitar más de un par de puntos cuando en realidad uno solo ya determina completamente el vector."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Dado un punto $P(x,y)$ (preimagen) y su imagen $P'(x',y')$ tras una traslación, el vector traslación se determina como $\vec{v}=(x'-x,\,y'-y)$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Si P(-4,-2) se transforma en P'(2,3), el vector traslación es (6,5).
(2-(-4), 3-(-2))=(6,5).
Respuesta: Verdadero
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¿Cuántos pares de puntos correspondientes se necesitan como mínimo para determinar el vector traslación?
Un único par (preimagen, imagen) ya determina completamente el vector.
Respuesta: A) Uno
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El vector traslación entre P(x,y) y su imagen P'(x',y') se calcula como:
Siempre se resta imagen menos preimagen.
Respuesta: A) (x'-x, y'-y)
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Para determinar el vector traslación, se debe restar preimagen menos imagen.
Se debe restar imagen menos preimagen (P' menos P), no al revés.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Si Q(3,5) se transforma en Q'(8,2), ¿cuál es el vector traslación?
(8-3, 2-5)=(5,-3).
Respuesta: A) (5,-3)
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Si R(-2,-6) se transforma en R'(-6,-1), el vector traslación es (-4,5).
(-6-(-2), -1-(-6))=(-4,5).
Respuesta: Verdadero
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Si el vector traslación es (7,-2) y la imagen de un punto es (10,3), ¿cuál era el punto original?
Preimagen=Imagen-vector=(10-7, 3-(-2))=(3,5).
Respuesta: A) (3,5)
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Conocer las coordenadas de dos vértices correspondientes de una figura y su imagen permite verificar (no solo determinar) el vector traslación de forma consistente.
Si el vector calculado con distintos pares de puntos coincide, se confirma que la transformación es efectivamente una traslación válida.
Respuesta: Verdadero
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Un analista de tráfico registra la posición de un vehículo en dos instantes: (12,8) y (20,15), y sabe que se movió en línea recta con velocidad constante (una traslación). ¿Cuál es el vector de desplazamiento del vehículo?
(20-12, 15-8)=(8,7).
Respuesta: A) (8,7)
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¿Cuál es el error frecuente al determinar el vector traslación?
Es el error más común al calcular este tipo de vector.
Respuesta: A) Restar preimagen menos imagen en vez de imagen menos preimagen