Sustracción de vectores por componentes
Restar dos vectores algebraicamente, interpretando la resta como la suma del primer vector con el opuesto del segundo.
Introducción
Restar un vector v de un vector u es lo mismo que sumarle a u el vector opuesto de v.
Explicación
Definición formal
La resta $\vec{u}-\vec{v}$ se calcula como $(u_x-v_x,\,u_y-v_y)$, y es equivalente a sumar $\vec{u}+(-\vec{v})$, donde $-\vec{v}$ es el vector opuesto de $\vec{v}$.
Desarrollo didáctico
Si $\vec{u}=(3,1)$ y $\vec{v}=(1,3)$, entonces $\vec{u}-\vec{v}=(3-1,\,1-3)=(2,-2)$. Geométricamente, este vector va desde el extremo de $\vec{v}$ hasta el extremo de $\vec{u}$ (ambos anclados en el origen).
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica las componentes de cada vector: u=(ux,uy) y v=(vx,vy).
- Paso 2: Resta las componentes horizontales: ux-vx.
- Paso 3: Resta las componentes verticales: uy-vy, obteniendo el vector resta (ux-vx, uy-vy).
Ejemplos
1 u=(3,1) y v=(1,3).
- u-v=(3-1, 1-3)=(2,-2).
2 Se calcula u-v.
- u-v=u+(-v), donde -v=(-vx,-vy); el resultado es equivalente al cálculo directo de la resta.
3 ¿La resta de vectores es conmutativa (u-v=v-u)?
- No, u-v y v-u son vectores opuestos entre sí, no iguales (salvo que ambos sean el vector nulo).
4 ¿El orden de la resta importa?
- Sí, a diferencia de la suma, el orden en la resta de vectores sí afecta el resultado (cambia el signo).
Ejemplos Verdadero/Falso
"Restar en el orden incorrecto (v-u en vez de u-v) sin darse cuenta de que cambia el signo del resultado."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Mezclar componentes x con componentes y al restar."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar que la resta de vectores no es conmutativa, a diferencia de la suma."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para restar dos vectores $\vec{u}=(u_x,u_y)$ y $\vec{v}=(v_x,v_y)$, se restan sus componentes por separado: $\vec{u}-\vec{v}=(u_x-v_x,\,u_y-v_y)$, equivalente a $\vec{u}+(-\vec{v})$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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La resta de u=(ux,uy) y v=(vx,vy) es:
Se restan las componentes correspondientes por separado.
Respuesta: A) (ux-vx, uy-vy)
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u=(3,1) menos v=(1,3) da (2,-2).
(3-1,1-3)=(2,-2).
Respuesta: Verdadero
-
¿Cómo se relaciona la resta u-v con la suma?
Restar v es equivalente a sumar el opuesto de v.
Respuesta: A) u-v=u+(-v)
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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La resta de vectores es conmutativa (u-v=v-u).
u-v y v-u son vectores opuestos, no iguales en general.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Cuál es el resultado de u=(8,5) menos v=(3,2)?
(8-3, 5-2)=(5,3).
Respuesta: A) (5,3)
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La resta de u=(-3,7) menos v=(4,-2) es (-7,9).
(-3-4, 7-(-2))=(-7,9).
Respuesta: Verdadero
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Si u-v=(6,-1) y u=(9,4), ¿cuál es v?
v=u-(u-v)=(9-6,4-(-1))=(3,5).
Respuesta: A) (3,5)
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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El vector u-v representa geométricamente el desplazamiento desde el extremo de v hasta el extremo de u (ambos anclados en el mismo origen).
Es la interpretación geométrica de la resta de vectores anclados en el origen.
Respuesta: Verdadero
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Un jugador de fútbol se mueve según el vector (7,4) y su compañero según el vector (2,6) desde el mismo punto de partida. ¿Cuál es el vector que representa la posición relativa del primer jugador respecto del segundo?
(7-2, 4-6)=(5,-2).
Respuesta: A) (5,-2)
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¿Cuál es el error frecuente al restar vectores?
Es un error común no considerar que la resta no es conmutativa.
Respuesta: A) Invertir el orden de la resta sin notar el cambio de signo