Multiplicación de un vector por un escalar
Multiplicar un vector por un número real (escalar), obteniendo un nuevo vector cuyas componentes son las originales multiplicadas por ese escalar.
Introducción
Multiplicar un vector por un escalar es como 'estirar' o 'encoger' la flecha que lo representa, manteniendo su misma línea de dirección.
Explicación
Definición formal
Si $\vec{v}=(v_x,v_y)$ y $k$ es un número real (escalar), entonces $k\vec{v}=(k\cdot v_x,\,k\cdot v_y)$: cada componente del vector se multiplica por el mismo escalar.
Desarrollo didáctico
En la figura, el vector $\vec{v}=(1{,}5,1)$ multiplicado por el escalar $k=2$ da $2\vec{v}=(3,2)$: un vector con el doble de longitud, en la misma dirección y sentido que el original.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica el vector v=(vx,vy) y el escalar k por el que se multiplicará.
- Paso 2: Multiplica cada componente del vector por el escalar: k·vx y k·vy.
- Paso 3: Escribe el vector resultante kv=(k·vx, k·vy).
Ejemplos
1 v=(1,5;1) se multiplica por k=2.
- 2v=(2×1,5, 2×1)=(3,2).
2 v=(4,-2) se multiplica por k=-3.
- -3v=(-3×4, -3×(-2))=(-12,6).
3 ¿Se multiplican ambas componentes por el mismo escalar?
- Sí, tanto la componente x como la componente y se multiplican por el mismo número k.
4 ¿La multiplicación por escalar cambia la dirección del vector si k es positivo?
- No, si k es positivo, la dirección y el sentido del vector se mantienen; solo cambia su módulo.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Multiplicar solo una de las dos componentes por el escalar, dejando la otra sin modificar."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir la multiplicación escalar con la suma de vectores."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No considerar el efecto del signo del escalar sobre el sentido del vector."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La multiplicación de un vector $\vec{v}=(v_x,v_y)$ por un escalar $k$ (número real) es $k\vec{v}=(k\cdot v_x,\,k\cdot v_y)$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
La multiplicación de v=(vx,vy) por un escalar k es:
Ambas componentes se multiplican por el mismo escalar.
Respuesta: A) (k·vx, k·vy)
-
Si v=(4,3) y k=2, entonces kv=(8,6).
(2×4, 2×3)=(8,6).
Respuesta: Verdadero
-
¿Qué característica del vector NO cambia al multiplicarlo por un escalar positivo?
Con escalar positivo, la dirección se mantiene; el módulo sí cambia (se escala).
Respuesta: A) Su dirección
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Al multiplicar un vector por un escalar, solo se multiplica una de sus dos componentes.
Se multiplican ambas componentes por el mismo escalar.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Si kv=(-12,8) y k=-4, ¿cuál era el vector v original?
v=kv/k=(-12/-4, 8/-4)=(3,-2).
Respuesta: A) (3,-2)
-
Si v=(5,-2) y k=3, ¿cuál es kv?
(3×5, 3×(-2))=(15,-6).
Respuesta: A) (15,-6)
-
Si v=(6,9) y k=1/3, entonces kv=(2,3).
(1/3×6, 1/3×9)=(2,3).
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el error frecuente al multiplicar un vector por un escalar?
Es un error común no aplicar el escalar a ambas componentes.
Respuesta: A) Multiplicar solo una componente y dejar la otra igual
-
Multiplicar un vector por el escalar 1 no produce ningún cambio en el vector.
1×v=v, ya que 1 es el elemento neutro de la multiplicación.
Respuesta: Verdadero
-
Una empresa de logística duplica la velocidad de sus camiones sin cambiar la ruta. Si el vector de velocidad original era (40,30) km/h, ¿cuál es el nuevo vector de velocidad?
Duplicar la velocidad equivale a multiplicar el vector por 2: (2×40, 2×30)=(80,60).
Respuesta: A) (80,60)