Efecto de la multiplicación escalar en la magnitud de un vector
Reconocer que al multiplicar un vector por un escalar k, su módulo (magnitud) queda multiplicado por el valor absoluto de k.
Introducción
Al 'estirar' o 'encoger' un vector mediante un escalar, su longitud cambia proporcionalmente al valor absoluto de ese escalar.
Explicación
Definición formal
Para cualquier vector $\vec{v}$ y escalar $k$, se cumple $|k\vec{v}|=|k|\times|\vec{v}|$: el módulo del vector escalado es el valor absoluto del escalar multiplicado por el módulo original.
Desarrollo didáctico
Si $|\vec{v}|=1{,}8$ y se multiplica por $k=3$, el nuevo módulo es $|3\vec{v}|=3\times1{,}8=5{,}4$: exactamente el triple del módulo original, sin importar la dirección del vector.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Calcula el módulo del vector original |v|.
- Paso 2: Toma el valor absoluto del escalar k, es decir, |k|.
- Paso 3: Multiplica |k| por |v| para obtener el módulo del vector escalado: |kv|=|k|×|v|.
Ejemplos
1 |v|=5 y se multiplica por k=4.
- |4v|=|4|×5=20.
2 |v|=6 y se multiplica por k=-3.
- |-3v|=|-3|×6=18 (el módulo siempre es positivo, sin importar el signo de k).
3 ¿El módulo del vector escalado depende del valor absoluto del escalar?
- Sí, se usa |k|, no k directamente, ya que el módulo nunca puede ser negativo.
4 ¿Multiplicar por un escalar entre 0 y 1 aumenta el módulo del vector?
- No, al multiplicar por un escalar con valor absoluto menor a 1, el módulo del vector disminuye (se 'encoge').
Ejemplos Verdadero/Falso
"Usar el escalar k directamente (sin valor absoluto) para calcular el nuevo módulo, obteniendo resultados negativos incorrectos."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir el efecto en el módulo con el efecto en el sentido del vector."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Creer que cualquier escalar aumenta necesariamente el módulo del vector."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Si un vector $\vec{v}$ se multiplica por un escalar $k$, el módulo del vector resultante es $|k\vec{v}|=|k|\times|\vec{v}|$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Si se multiplica un vector v por un escalar k, el nuevo módulo es:
Se usa el valor absoluto del escalar.
Respuesta: A) |k|×|v|
-
Si |v|=5 y k=4, entonces |4v|=20.
|4|×5=20.
Respuesta: Verdadero
-
¿Por qué se usa el valor absoluto del escalar en esta fórmula?
El módulo es una longitud, siempre no negativa.
Respuesta: A) Porque el módulo de un vector nunca puede ser negativo
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Multiplicar un vector por un escalar mayor a 1 siempre aumenta su módulo.
Si |k|>1, el nuevo módulo será mayor que el original.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Si |v|=8 y k=0,5, ¿cuál es |kv|?
|0,5|×8=4.
Respuesta: A) 4
-
Si |v|=10 y k=-2, entonces |kv|=20.
|-2|×10=20.
Respuesta: Verdadero
-
Si |kv|=36 y k=6, ¿cuál era el módulo original |v|?
36/|6|=6.
Respuesta: A) 6
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Multiplicar un vector por el escalar 0 produce un vector con módulo 0 (el vector nulo).
|0|×|v|=0, independiente del módulo original.
Respuesta: Verdadero
-
Un motor triplica la fuerza aplicada por una palanca, representada por un vector de módulo 15 N. ¿Cuál es el módulo de la fuerza resultante?
|3|×15=45.
Respuesta: A) 45 N
-
¿Cuál es el error frecuente al aplicar esta relación?
Es un error común olvidar que el módulo debe ser siempre positivo.
Respuesta: A) Usar el escalar sin valor absoluto, obteniendo un resultado negativo