Cálculo del módulo de un vector representado desde el origen
Calcular el módulo de un vector cuyo origen coincide con el origen del sistema cartesiano, aplicando el teorema de Pitágoras directamente a sus componentes.
Introducción
Cuando un vector 'parte desde cero', calcular su longitud es tan simple como aplicar el teorema de Pitágoras a sus dos componentes.
Explicación
Definición formal
Cuando el origen de un vector coincide con el origen del sistema cartesiano, sus componentes $(v_x,v_y)$ coinciden con las coordenadas de su extremo, y el módulo se calcula directamente como $|\vec{v}|=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$, sin necesidad de restar coordenadas.
Desarrollo didáctico
En la figura, el vector $\vec{v}=(4,3)$, anclado en el origen, tiene módulo $|\vec{v}|=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Verifica que el vector tenga su origen en el punto (0,0) del sistema cartesiano.
- Paso 2: Identifica directamente sus componentes (vx,vy), que coinciden con las coordenadas de su extremo.
- Paso 3: Aplica la fórmula |v|=√(vx²+vy²) para obtener el módulo.
Ejemplos
1 El vector v=(4,3) tiene su origen en (0,0).
- |v|=√(4²+3²)=√25=5.
2 El vector v=(-6,8) tiene su origen en (0,0).
- |v|=√((-6)²+8²)=√(36+64)=√100=10.
3 ¿Es necesario restar coordenadas cuando el vector parte del origen?
- No, las componentes ya coinciden directamente con las coordenadas del extremo, sin necesidad de restar nada.
4 ¿Esta fórmula es un caso particular de la fórmula de distancia entre dos puntos?
- Sí, es la fórmula de distancia aplicada específicamente cuando uno de los puntos es el origen (0,0).
Ejemplos Verdadero/Falso
"Restar innecesariamente las coordenadas del origen (que son ambas cero) antes de aplicar la fórmula."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir esta fórmula simplificada con la fórmula general para vectores no anclados en el origen."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar elevar al cuadrado alguna de las dos componentes."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Si un vector $\vec{v}=(v_x,v_y)$ tiene su origen en el punto $(0,0)$, su módulo se calcula directamente como $|\vec{v}|=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Si un vector v=(vx,vy) tiene su origen en (0,0), su módulo es:
Es la fórmula del módulo para un vector anclado en el origen.
Respuesta: A) √(vx²+vy²)
-
El vector v=(4,3) anclado en el origen tiene módulo 5.
√(4²+3²)=√25=5.
Respuesta: Verdadero
-
¿Por qué no es necesario restar coordenadas en esta fórmula?
Restar 0 de cualquier coordenada la deja igual, por eso se simplifica la fórmula.
Respuesta: A) Porque el origen del vector es (0,0), y restar cero no cambia nada
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Esta fórmula aplica solo si el vector tiene su origen en (0,0).
Es la condición específica para usar esta versión simplificada de la fórmula.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
¿Cuál es el módulo del vector v=(6,8) anclado en el origen?
√(36+64)=√100=10.
Respuesta: A) 10
-
El vector v=(-5,12) anclado en el origen tiene módulo 13.
√(25+144)=√169=13.
Respuesta: Verdadero
-
Un vector anclado en el origen tiene módulo 25 y componente vx=7. ¿Cuál es aproximadamente su componente vy (positiva)?
25²=7²+vy² → vy²=625-49=576 → vy=24.
Respuesta: A) 24
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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¿Cuál es el error frecuente al aplicar esta fórmula simplificada?
Es un error común aplicar la versión simplificada cuando el vector no está anclado en el origen.
Respuesta: A) Usarla también para vectores que no parten del origen
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Todo punto del plano puede representarse como un vector con origen en (0,0) y extremo en ese punto.
Es la interpretación de 'vector posición' de cualquier punto del plano.
Respuesta: Verdadero
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Un satélite se ubica en la posición (30,40) km respecto de una estación terrestre considerada como origen. ¿A qué distancia (módulo del vector posición) está el satélite de la estación?
√(30²+40²)=√2500=50.
Respuesta: A) 50 km