Cálculo del módulo de un vector no anclado en el origen
Calcular el módulo de un vector cuyo origen no coincide con el origen del sistema cartesiano, usando la fórmula general de distancia entre dos puntos.
Introducción
Cuando un vector no 'parte desde cero', su longitud se calcula igual que la distancia entre dos puntos cualesquiera del plano.
Explicación
Definición formal
Para un vector $\vec{AB}$ con $A(x_A,y_A)$ y $B(x_B,y_B)$ cualesquiera, el módulo se calcula con la fórmula general de distancia: $|\vec{AB}|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$, sin importar si el vector está anclado en el origen o no.
Desarrollo didáctico
En la figura, el vector va de $A(-2,1)$ a $B(4,5)$: $|\vec{AB}|=\sqrt{(4-(-2))^2+(5-1)^2}=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{52}\approx7,2$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica las coordenadas del origen A(xA,yA) y el extremo B(xB,yB) del vector.
- Paso 2: Calcula las diferencias de coordenadas: xB-xA y yB-yA.
- Paso 3: Aplica la fórmula |AB|=√((xB-xA)²+(yB-yA)²) para obtener el módulo.
Ejemplos
1 El vector va de A(-2,1) a B(4,5).
- |AB|=√((4-(-2))²+(5-1)²)=√(36+16)=√52≈7,2.
2 Se compara esta fórmula con la de distancia entre dos puntos.
- Son exactamente la misma fórmula: el módulo de un vector AB es igual a la distancia entre A y B.
3 ¿Esta fórmula general también funciona si el vector está anclado en el origen?
- Sí, cuando A=(0,0), la fórmula se simplifica exactamente a la versión más simple √(vx²+vy²).
4 ¿Es necesario restar las coordenadas en el orden correcto (extremo menos origen)?
- Sí, aunque el resultado final no cambia por el cuadrado, se debe mantener la consistencia: extremo menos origen.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Olvidar restar las coordenadas del origen, tratando el vector como si estuviera anclado en (0,0) sin estarlo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Cometer errores de signo al calcular las diferencias de coordenadas."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir esta fórmula general con la versión simplificada válida solo para vectores anclados en el origen."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Si un vector $\vec{AB}$ tiene origen $A(x_A,y_A)$ y extremo $B(x_B,y_B)$ (no necesariamente el origen del sistema), su módulo es $|\vec{AB}|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
¿Cuándo se simplifica esta fórmula a √(vx²+vy²)?
Solo en ese caso las componentes coinciden directamente con las coordenadas de B.
Respuesta: A) Cuando el origen A coincide con (0,0)
-
El módulo de un vector AB con A(xA,yA) y B(xB,yB) es:
Es la fórmula general del módulo, equivalente a la distancia entre A y B.
Respuesta: A) √((xB-xA)²+(yB-yA)²)
-
Esta fórmula es la misma que la fórmula de distancia entre dos puntos.
El módulo de un vector AB es exactamente la distancia entre A y B.
Respuesta: Verdadero
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Esta fórmula general solo aplica si el vector está anclado en el origen.
Es una fórmula general válida para cualquier vector, esté o no anclado en el origen.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
¿Cuál es el módulo del vector que va de A(1,2) a B(4,6)?
√((4-1)²+(6-2)²)=√(9+16)=√25=5.
Respuesta: A) 5
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El módulo del vector de A(-1,-1) a B(2,3) es 5.
√((2-(-1))²+(3-(-1))²)=√(9+16)=√25=5.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuál es el módulo del vector de A(3,5) a B(3,9)?
√((3-3)²+(9-5)²)=√(0+16)=4.
Respuesta: A) 4
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el error frecuente al aplicar esta fórmula general?
Es un error común aplicar la fórmula simplificada cuando no corresponde.
Respuesta: A) Olvidar restar las coordenadas del origen (tratarlo como si fuera (0,0))
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Un mismo vector (con las mismas componentes) puede representarse con distintos puntos de origen y extremo en el plano, y su módulo será siempre el mismo.
El módulo depende solo de las componentes (diferencias de coordenadas), no de la ubicación específica del vector.
Respuesta: Verdadero
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Un cable de alta tensión conecta dos torres ubicadas en las coordenadas (10,15) y (14,18) de un mapa (en km). ¿Cuál es la longitud aproximada del cable en línea recta?
√((14-10)²+(18-15)²)=√(16+9)=√25=5.
Respuesta: A) 5 km