Cálculo del módulo de un vector no anclado en el origen
Resumen inicial
Cálculo del módulo de un vector no anclado en el origen: conceptos, teoremas, propiedades geométricas y cálculo en Sistema Cartesiano y Vectores.
Explicación en palabras simples
Cuando un vector no 'parte desde cero', su longitud se calcula igual que la distancia entre dos puntos cualesquiera del plano.
Explicación formal
Definición formal
Para un vector $\vec{AB}$ con $A(x_A,y_A)$ y $B(x_B,y_B)$ cualesquiera, el módulo se calcula con la fórmula general de distancia: $|\vec{AB}|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$, sin importar si el vector está anclado en el origen o no.
Desarrollo didáctico
En la figura, el vector va de $A(-2,1)$ a $B(4,5)$: $|\vec{AB}|=\sqrt{(4-(-2))^2+(5-1)^2}=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{52}\approx7,2$.
La alternativa correcta es: Aplicar correctamente las definiciones y propiedades fundamentales de cálculo del módulo de un vector no anclado en el origen. Corresponde al fundamento conceptual de cálculo del módulo de un vector no anclado en el origen.
Definiciones clave
- Cálculo del módulo de un vector no anclado en el origen: Elemento o propiedad fundamental en el estudio de sistema cartesiano y vectores.
Propiedades y relaciones importantes
- Relaciones geométricas: Conexión entre vértices, lados, ángulos o trasformaciones asociadas a cálculo del módulo de un vector no anclado en el origen.
Ejemplo guiado
En el plano cartesiano referente a cálculo del módulo de un vector no anclado en el origen, se consideran las coordenadas $A(1, 6)$ y $B(7, 5)$. Determina la medida o vector resultante.
- Aplicar la fórmula cartesiana de cálculo del módulo de un vector no anclado en el origen.
- Sustituir las coordenadas $A(1, 6)$ y $B(7, 5)$.
- Obtener el resultado final en el plano cartesiano.
La alternativa correcta es: Sustituir adecuadamente los valores conocidos en la fórmula de cálculo del módulo de un vector no anclado en el origen para obtener el resultado. Procedimiento estándar de resolución geométrica.
Procedimiento
- Paso 1: Identifica las coordenadas del origen A(xA,yA) y el extremo B(xB,yB) del vector.
- Paso 2: Calcula las diferencias de coordenadas: xB-xA y yB-yA.
- Paso 3: Aplica la fórmula |AB|=√((xB-xA)²+(yB-yA)²) para obtener el módulo.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
Evita confundir las unidades de medida (longitud vs. área vs. volumen) al trabajar con cálculo del módulo de un vector no anclado en el origen.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Desarrollo paso a paso aplicando cálculo del módulo de un vector no anclado en el origen.
- Verificación de las condiciones de cálculo del módulo de un vector no anclado en el origen.
- Sí, porque las figuras congruentes conservan todas sus medidas y ángulos.
- No, las longitudes y distancias geométricas en el espacio real son siempre valores no negativos.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
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Esta afirmación es correcta.
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Al terminar debes poder
Identificar, calcular y aplicar las propiedades de cálculo del módulo de un vector no anclado en el origen en problemas geométricos.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
¿Cuándo se simplifica esta fórmula a √(vx²+vy²)?
Solo en ese caso las componentes coinciden directamente con las coordenadas de B.
Respuesta: A) Cuando el origen A coincide con (0,0)
-
El módulo de un vector AB con A(xA,yA) y B(xB,yB) es:
Es la fórmula general del módulo, equivalente a la distancia entre A y B.
Respuesta: A) √((xB-xA)²+(yB-yA)²)
-
Esta fórmula es la misma que la fórmula de distancia entre dos puntos.
El módulo de un vector AB es exactamente la distancia entre A y B.
Respuesta: Verdadero
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Esta fórmula general solo aplica si el vector está anclado en el origen.
Es una fórmula general válida para cualquier vector, esté o no anclado en el origen.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
¿Cuál es el módulo del vector que va de A(1,2) a B(4,6)?
√((4-1)²+(6-2)²)=√(9+16)=√25=5.
Respuesta: A) 5
-
El módulo del vector de A(-1,-1) a B(2,3) es 5.
√((2-(-1))²+(3-(-1))²)=√(9+16)=√25=5.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuál es el módulo del vector de A(3,5) a B(3,9)?
√((3-3)²+(9-5)²)=√(0+16)=4.
Respuesta: A) 4
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el error frecuente al aplicar esta fórmula general?
Es un error común aplicar la fórmula simplificada cuando no corresponde.
Respuesta: A) Olvidar restar las coordenadas del origen (tratarlo como si fuera (0,0))
-
Un mismo vector (con las mismas componentes) puede representarse con distintos puntos de origen y extremo en el plano, y su módulo será siempre el mismo.
El módulo depende solo de las componentes (diferencias de coordenadas), no de la ubicación específica del vector.
Respuesta: Verdadero
-
Un cable de alta tensión conecta dos torres ubicadas en las coordenadas (10,15) y (14,18) de un mapa (en km). ¿Cuál es la longitud aproximada del cable en línea recta?
√((14-10)²+(18-15)²)=√(16+9)=√25=5.
Respuesta: A) 5 km