Cálculo de la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano
Aplicar la fórmula de distancia para calcular numéricamente la distancia entre dos puntos específicos del plano cartesiano.
Introducción
Con la fórmula de distancia ya conocida, el siguiente paso es aplicarla con números concretos para obtener resultados numéricos precisos.
Explicación
Definición formal
Dados $A(-3,-2)$ y $B(4,3)$: $\Delta x=4-(-3)=7$, $\Delta y=3-(-2)=5$, por lo que $d(A,B)=\sqrt{7^2+5^2}=\sqrt{49+25}=\sqrt{74}\approx8,6$.
Desarrollo didáctico
Este procedimiento se repite siempre igual: calcular las diferencias, elevarlas al cuadrado, sumarlas y sacar la raíz cuadrada del resultado, sin importar los valores específicos de los puntos.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Sustituye las coordenadas de los dos puntos en las diferencias Δx=x₂-x₁ y Δy=y₂-y₁.
- Paso 2: Eleva ambas diferencias al cuadrado y súmalas.
- Paso 3: Calcula la raíz cuadrada de esa suma para obtener la distancia final.
Ejemplos
1 A(-3,-2) y B(4,3).
- Δx=4-(-3)=7; Δy=3-(-2)=5; d=√(7²+5²)=√74≈8,6.
2 A(1,2) y B(4,6).
- Δx=4-1=3; Δy=6-2=4; d=√(3²+4²)=√25=5.
3 ¿El resultado puede ser un número irracional (con raíz no exacta)?
- Sí, como en el ejemplo con √74, el resultado no siempre es un número entero o exacto.
4 ¿Se puede verificar el resultado usando el teorema de Pitágoras directamente?
- Sí, Δx y Δy son los catetos, y d es la hipotenusa; se puede verificar que Δx²+Δy²=d².
Ejemplos Verdadero/Falso
"Restar las coordenadas en el orden incorrecto entre los dos puntos, generando confusión (aunque el resultado final no cambia por el cuadrado)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Cometer errores aritméticos al elevar al cuadrado o sumar las diferencias."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Dejar el resultado sin simplificar o sin aproximar cuando la raíz no es exacta."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para calcular la distancia entre dos puntos $A(x_1,y_1)$ y $B(x_2,y_2)$, se sustituyen sus coordenadas en la fórmula $d(A,B)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ y se resuelve numéricamente.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Para calcular la distancia entre A(1,2) y B(4,6), el primer paso es:
Es el primer paso del procedimiento estándar.
Respuesta: A) Calcular Δx=4-1=3 y Δy=6-2=4
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La distancia entre A(1,2) y B(4,6) es 5.
√(3²+4²)=√25=5.
Respuesta: Verdadero
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¿Qué representa el resultado final de este cálculo?
La distancia es exactamente la longitud del segmento AB.
Respuesta: A) La longitud del segmento que une ambos puntos
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
El resultado de la distancia siempre es un número entero.
Puede ser un número irracional, como en el caso de √74.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Cuál es la distancia entre A(0,0) y B(3,4)?
d=√(3²+4²)=√25=5.
Respuesta: A) 5
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La distancia entre A(2,3) y B(6,6) es 5.
Δx=4, Δy=3; d=√(16+9)=√25=5.
Respuesta: Verdadero
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¿Cuál es la distancia entre A(-2,1) y B(2,4)?
Δx=4, Δy=3; d=√(16+9)=√25=5.
Respuesta: A) 5
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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¿Cuál es el error frecuente al calcular esta distancia?
Es un error común en la ejecución aritmética del procedimiento.
Respuesta: A) Cometer errores aritméticos al sumar los cuadrados de las diferencias
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Si dos puntos tienen la misma ordenada (y₁=y₂), la distancia entre ellos es simplemente |x₂-x₁|.
Si Δy=0, la fórmula se reduce a √(Δx²)=|Δx|.
Respuesta: Verdadero
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Dos antenas de telecomunicaciones están ubicadas en las coordenadas (2,3) y (8,11) de un mapa (en km). ¿Cuál es la distancia en línea recta entre ambas?
Δx=6, Δy=8; d=√(36+64)=√100=10.
Respuesta: A) 10 km