Representación de un vector mediante coordenadas en el plano
Representar un vector mediante sus componentes o coordenadas (vx, vy), que indican el desplazamiento horizontal y vertical desde su origen.
Introducción
Las coordenadas de un vector indican cuánto se avanza horizontalmente y cuánto verticalmente para ir de su origen a su extremo.
Explicación
Definición formal
Dado un vector $\vec{AB}$ con $A(x_A,y_A)$ y $B(x_B,y_B)$, sus componentes son $v_x=x_B-x_A$ y $v_y=y_B-y_A$. Cuando el vector está anclado en el origen, sus componentes coinciden directamente con las coordenadas de su extremo.
Desarrollo didáctico
En la figura, el vector con origen en $(0,0)$ y extremo en $(4,3)$ tiene componentes $v_x=4$ y $v_y=3$, representándose como $\vec{v}=(4,3)$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica las coordenadas del origen y el extremo del vector.
- Paso 2: Calcula vx=x_extremo-x_origen (la componente horizontal).
- Paso 3: Calcula vy=y_extremo-y_origen (la componente vertical), y expresa el vector como (vx,vy).
Ejemplos
1 Un vector va de (0,0) a (4,3).
- Sus componentes son vx=4-0=4 y vy=3-0=3, por lo que v=(4,3).
2 Un vector va de A(2,1) a B(5,6).
- vx=5-2=3; vy=6-1=5; el vector es v=(3,5).
3 ¿Las componentes de un vector siempre se calculan como extremo menos origen?
- Sí, siempre se resta el origen del extremo, en ese orden, para obtener las componentes correctas.
4 ¿Dos vectores con distinto origen pero mismas componentes son iguales?
- Sí, dos vectores son iguales si tienen las mismas componentes (mismo módulo, dirección y sentido), sin importar dónde estén ubicados.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Calcular las componentes restando origen menos extremo, en vez de extremo menos origen."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir las coordenadas del punto extremo con las componentes del vector cuando este no está anclado en el origen."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar que vectores con el mismo par (vx,vy) son iguales, sin importar su ubicación en el plano."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Un vector se puede representar mediante sus componentes $(v_x,v_y)$, donde $v_x=x_B-x_A$ y $v_y=y_B-y_A$, siendo $A$ el origen y $B$ el extremo del vector.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Las componentes de un vector AB se calculan como:
Siempre se resta origen del extremo (extremo menos origen).
Respuesta: A) (xB-xA, yB-yA)
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Un vector de (0,0) a (4,3) tiene componentes (4,3).
Al estar anclado en el origen, las componentes coinciden con las coordenadas del extremo.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuándo coinciden las componentes de un vector con las coordenadas de su extremo?
Solo en ese caso especial coinciden directamente.
Respuesta: A) Cuando el vector está anclado en el origen
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Dos vectores con las mismas componentes son siempre iguales, sin importar su ubicación.
La igualdad de vectores depende de sus componentes, no de su posición específica.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Un vector va de A(2,1) a B(5,6). ¿Cuáles son sus componentes?
vx=5-2=3; vy=6-1=5.
Respuesta: A) (3,5)
-
Un vector de A(-2,3) a B(1,-1) tiene componentes (3,-4).
vx=1-(-2)=3; vy=-1-3=-4.
Respuesta: Verdadero
-
Un vector tiene componentes (6,-2) y su origen es A(3,5). ¿Cuáles son las coordenadas de su extremo B?
B=(3+6, 5-2)=(9,3).
Respuesta: A) (9,3)
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el error frecuente al calcular las componentes de un vector?
Es un error común invertir el orden de la resta.
Respuesta: A) Restar origen menos extremo en vez de extremo menos origen
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Las componentes de un vector permiten calcular directamente su módulo mediante la fórmula √(vx²+vy²).
Es la aplicación del teorema de Pitágoras a las componentes del vector.
Respuesta: Verdadero
-
Un barco navega desde el puerto A(10,5) hasta el punto B(16,13). ¿Cuáles son las componentes de su vector de desplazamiento?
vx=16-10=6; vy=13-5=8.
Respuesta: A) (6,8)