Propiedad de medida de la mediana del trapecio como semisuma de las bases

M1 — PAES obligatoria Avanzada

Resumen inicial

La longitud de la mediana de un trapecio es igual a la semisuma de sus bases: M = (B + b) / 2.

Explicación en palabras simples

¿Cuánto mide de largo la mediana de un trapecio? La respuesta es facilísima: mide el promedio exacto de las dos bases.

Solo tienes que sumar la base mayor ($B$) con la base menor ($b$) y dividir el resultado por 2: $M = \frac{B + b}{2}$. Por ejemplo, si la base de abajo mide 14 cm y la de arriba mide 6 cm, la mediana medirá $\frac{14 + 6}{2} = \frac{20}{2} = 10\text{ cm}$. ¡Queda exactamente al medio de ambas medidas!

Medida de la mediana como semisuma de las bases

Explicación formal

Teorema de la medida de la mediana

Sea $\mathcal{ABCD}$ un trapecio con base mayor $B$ y base menor $b$. La longitud métrica de la mediana $\overline{MN}$, denotada por $M$, es la media aritmética de las longitudes de las bases:
$$M = \frac{B + b}{2} \iff 2M = B + b$$

Deducción algebraica

Retomando la demostración del paralelismo, al prolongar $\overline{DN}$ hasta cortar la prolongación de la base mayor en $E$, se demostró que $\triangle CND \cong \triangle BNE$.
1. Por congruencia de triángulos: $BE = CD = b$.
2. La base total del triángulo $\triangle ADE$ es $AE = AB + BE = B + b$.
3. Como $\overline{MN}$ es la base media del triángulo $\triangle ADE$, por el teorema de la base media su longitud es exactamente la mitad de la base sobre la que se apoya:
$$MN = \frac{AE}{2} = \frac{B + b}{2}$$

Despeje de bases

Conociendo la mediana $M$ y una de las bases, la otra se despeja de inmediato:
$$B = 2M - b \quad \wedge \quad b = 2M - B$$

Complemento didáctico: No confundas la fórmula de la mediana con la del segmento entre las diagonales: la mediana es la SUMA partida en dos ($M = \frac{B+b}{2}$), mientras que el pequeño segmento que une los puntos medios de las diagonales es la RESTA partida en dos ($P = \frac{B-b}{2}$).

Comprueba tu avance Si las bases de un trapecio miden 18 cm y 10 cm, ¿cuánto mide su mediana?

Definiciones clave

  • Semisuma: Suma de dos cantidades dividida por dos (promedio o media aritmética).
  • Mediana ($M$): Longitud del segmento medio del trapecio dada por $M = \frac{B + b}{2}$.
  • Segmento entre diagonales: Segmento que une los puntos medios de las diagonales con medida $P_d = \frac{B - b}{2}$.

Propiedades y relaciones importantes

  • Equivalencia de área: El área del trapecio puede calcularse directamente como base media por altura: $A = M \cdot h$.
  • Progresión aritmética: Las longitudes de la base menor $b$, la mediana $M$ y la base mayor $B$ forman una progresión aritmética estricta con diferencia $d = \frac{B - b}{2}$.
  • Invarianza de lados laterales: La longitud de la mediana depende ÚNICAMENTE de las bases, sin importar las longitudes de los lados laterales.

Ejemplo guiado

Ejemplos de medida de la mediana

La mediana de un trapecio mide $12$ cm y la base mayor mide $17$ cm. Calcula la longitud de la base menor.

  • Paso 1: Plantear la ecuación fundamental de la mediana: $M = \frac{B + b}{2} \implies 12 = \frac{17 + b}{2}$.
  • Paso 2: Multiplicar por 2 a ambos lados: $24 = 17 + b$.
  • Paso 3: Despejar la base menor $b$: $b = 24 - 17 = 7$ cm.
  • Paso 4: Comprobar el resultado: $\frac{17 + 7}{2} = \frac{24}{2} = 12$ cm.
Comprueba tu avance Si la mediana de un trapecio mide 15 cm y la base menor mide 9 cm, ¿cuánto mide la base mayor?

Procedimiento

  • 1. Identificar las longitudes de las bases mayor $B$ y menor $b$.
  • 2. Sumar ambas bases: $B + b$.
  • 3. Dividir el resultado entre 2: $M = (B + b) / 2$.
  • 4. Si se conoce la mediana y una base, aplicar $B = 2M - b$ o $b = 2M - B$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

  • Error común 1: Restar las bases en lugar de sumarlas. Corrección: La mediana es el promedio (suma dividida en 2); la resta $(B - b)/2$ es el segmento entre diagonales.
  • Error común 2: Olvidar dividir por 2 y responder $B + b$. Corrección: $B + b$ es la suma total, la mediana es la mitad.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 Las bases de un trapecio miden $22\text{ cm}$ y $14\text{ cm}$. ¿Cuál es la medida de su mediana?
2 ¿Es la mediana de un trapecio siempre estrictamente mayor que su base menor?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"'La mediana de un trapecio mide exactamente la semisuma de sus bases ($M = \frac{B + b}{2}$).'"
"'Confundir la semisuma con el producto de las bases.'"
"'El área de un trapecio equivale al producto de su mediana por su altura ($A = M \cdot h$).'"
"'La longitud de la mediana se ubica estrictamente entre la medida de la base menor y la base mayor ($b < M < B$).'"
"'Restar las bases en vez de sumarlas al calcular la mediana.'"
"'Promediar los lados laterales en lugar de las bases paralelas.'"

Al terminar debes poder

Síntesis de medida de mediana

🎯 QUÉ Objetivo

Calcular la medida de la mediana de un trapecio y despejar longitudes de bases desconocidas.

⚙️ CÓMO Procedimiento

Empleando la relación algebraica $M = \frac{B + b}{2}$ y sus despejes lineales $2M = B + b$.

Fuente: Texto escolar oficial de Matemáticas y estándares curriculares PAES

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. Con bases 20 y 12, la mediana mide 16.

  2. La mediana de un trapecio se calcula como:

  3. ¿La mediana siempre está entre los valores de las dos bases?

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. La mediana puede ser mayor que la base mayor.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. Un trapecio con mediana 15 cm y base mayor 22 cm tiene base menor de 8 cm.

  2. Un trapecio tiene base mayor 18 cm y base menor 10 cm. ¿Cuál es su mediana?

  3. Un trapecio tiene mediana 20 cm, y su base menor es 14 cm. ¿Cuánto mide la base mayor?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. Un trapecio tiene base mayor 10 cm, base menor 2x cm, y mediana (3x-1) cm. ¿Cuánto vale x?

  2. ¿Cuál es el error frecuente al calcular la mediana?

  3. El área de un trapecio también se puede calcular como (mediana × altura), en vez de la fórmula tradicional ((B+b)×h/2).

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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