Cálculo de la cantidad total de diagonales de un polígono mediante n(n - 3) / 2

M1 — PAES obligatoria Avanzada

Resumen inicial

El número total de diagonales de un polígono de n lados es D = n(n - 3) / 2.

Explicación en palabras simples

Si un polígono tiene $n$ esquinas (vértices) y sabemos que desde cada una de ellas salen $n - 3$ diagonales, parece tentador multiplicar simplemente $n \cdot (n - 3)$.

Sin embargo, si calculamos así, estaremos contando cada diagonal dos veces: una vez desde la esquina de inicio y otra vez desde la esquina de llegada (la diagonal que va de $A$ a $C$ es exactamente la misma que va de $C$ a $A$). Para corregir este conteo doble, dividimos obligatoriamente por 2, obteniendo la fórmula universal: $D = \frac{n(n - 3)}{2}$.

Cantidad total de diagonales de un polígono

Explicación formal

Definición formal

Sea $\mathcal{P}$ un polígono simple convexo de $n$ vértices. El cardinal del conjunto total de diagonales $\mathcal{D}$, denotado por $D$, viene dado por la expresión combinatoria:
$$D = \binom{n}{2} - n = \frac{n(n - 1)}{2} - n = \frac{n^2 - n - 2n}{2} = \frac{n(n - 3)}{2}$$

Desglose simbólico

  • $n$: Número de lados o vértices del polígono ($n \geq 3$).
  • $\binom{n}{2} = \frac{n(n - 1)}{2}$: Total de pares no ordenados $\{V_i, V_j\}$ posibles entre los $n$ vértices (total de segmentos unibles).
  • $- n$: Resta de los $n$ pares consecutivos que representan los lados de la frontera poligonal.
  • Factor $\frac{1}{2}$: Corrección de simetría axial, ya que el segmento no dirigido $\overline{V_i V_j}$ coincide idénticamente con $\overline{V_j V_i}$.
  • Caso notable $n = 5$: $D = \frac{5(5-3)}{2} = \frac{10}{2} = 5$. El pentágono es el único polígono donde el número de lados es idéntico a su número total de diagonales ($n = D$).

Complemento didáctico: ¿Por qué se divide entre 2 en $D = \frac{n(n-3)}{2}$? Porque cada cuerda tiene dos extremos. Si multiplicas $n(n-3)$, estás contando cada diagonal una vez por cada punta. Al dividir por 2, dejas el conteo real y limpio.

Comprueba tu avance ¿Cuántas diagonales totales tiene un hexágono (polígono de 6 lados)?

Definiciones clave

  • Total de diagonales ($D$): Cantidad de todos los segmentos diagonales distintos que pueden trazarse dentro de un polígono.
  • Conteo combinatorio $\binom{n}{2}$: Número de combinaciones de $n$ elementos tomados de a 2.
  • Grado de un vértice respecto a diagonales: Cantidad de diagonales que concurren en un vértice ($d_v = n - 3$).

Propiedades y relaciones importantes

  • Tabla de valores canónicos:
  • Triángulo ($n = 3$): $D = \frac{3(0)}{2} = 0$.
  • Cuadrilátero ($n = 4$): $D = \frac{4(1)}{2} = 2$.
  • Pentágono ($n = 5$): $D = \frac{5(2)}{2} = 5$.
  • Hexágono ($n = 6$): $D = \frac{6(3)}{2} = 9$.
  • Octágono ($n = 8$): $D = \frac{8(5)}{2} = 20$.
  • Decágono ($n = 10$): $D = \frac{10(7)}{2} = 35$.
  • Dodecágono ($n = 12$): $D = \frac{12(9)}{2} = 54$.
  • Crecimiento cuadrático: Al crecer $n$, $D$ crece con orden de magnitud $O(n^2)$.

Ejemplo guiado

Ejemplos de total de diagonales

Calcula la cantidad total de diagonales de un heptágono ($n = 7$) y de un decágono ($n = 10$).

  • Paso 1: Para el heptágono ($n = 7$): Calcular $n - 3 = 7 - 3 = 4$.
  • Paso 2: Aplicar la fórmula: $D = \frac{7 \cdot 4}{2} = \frac{28}{2} = 14$ diagonales.
  • Paso 3: Para el decágono ($n = 10$): Calcular $n - 3 = 10 - 3 = 7$.
  • Paso 4: Aplicar la fórmula: $D = \frac{10 \cdot 7}{2} = \frac{70}{2} = 35$ diagonales.
Comprueba tu avance Si un polígono tiene en total 20 diagonales, ¿cuántos lados tiene la figura?

Procedimiento

  • 1. Identificar el número de lados o vértices $n$ del polígono.
  • 2. Calcular el número de diagonales por vértice: $d_v = n - 3$.
  • 3. Multiplicar por el número de vértices: $n \cdot (n - 3)$.
  • 4. Dividir el producto entre 2 para descontar duplicados: $D = \frac{n(n - 3)}{2}$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

  • Error común 1: Olvidar dividir por 2 y responder $n(n - 3)$. Corrección: Cada diagonal tiene dos extremos y se cuenta dos veces si no se divide entre 2.
  • Error común 2: Usar $n(n - 2) / 2$. Corrección: El término correcto es $n - 3$, ya que un vértice no puede trazar diagonales ni a sí mismo ni a sus dos adyacentes.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 ¿En cuál de los siguientes polígonos el número de lados es igual al total de diagonales?
2 ¿Un icoságono ($n = 20$) tiene más de 150 diagonales?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"El pentágono es el único polígono donde el número de lados coincide con el total de diagonales ($n = D = 5$)."
"Cometer errores algebraicos al resolver la ecuación cuadrática $n^2 - 3n - 2D = 0$."
"Un decágono ($n = 10$) posee exactamente $35$ diagonales en total."
"El total de diagonales de un polígono de $n$ lados se obtiene mediante $D = \\frac{n(n - 3)}{2}$."
"Confundir el total de diagonales $D = \\frac{n(n - 3)}{2}$ con las de un solo vértice $d_v = n - 3$."
"Omitir la división por 2 y calcular el doble de diagonales ($n(n - 3)$)."

Al terminar debes poder

Síntesis de total de diagonales

🎯 QUÉ Objetivo

Calcular y deducir la cantidad total de diagonales de cualquier polígono convexo y despejar el número de lados correspondiente.

⚙️ CÓMO Procedimiento

Empleando la fórmula combinatoria $D = \frac{n(n - 3)}{2}$ y resolviendo ecuaciones asociadas a pares no adyacentes de vértices.

Fuente: Texto escolar oficial de Matemáticas y estándares curriculares PAES

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. El total de diagonales de un polígono de n lados es:

  2. Un hexágono tiene 9 diagonales en total.

  3. ¿Por qué se divide entre 2 en esta fórmula?

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. Un pentágono tiene 10 diagonales en total.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. Un decágono tiene 35 diagonales en total.

  2. Un polígono tiene 20 diagonales en total. ¿Cuántos lados tiene?

  3. Un octógono tiene 8 lados. ¿Cuántas diagonales tiene en total?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. ¿Cuál es el error frecuente al calcular el total de diagonales?

  2. El total de diagonales de un polígono aumenta más rápido que el número de lados a medida que el polígono crece.

  3. Un polígono regular tiene 54 diagonales en total. ¿Cuántos lados tiene?

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

¿Necesitas más ayuda o una clase particular?

Contáctame directamente para resolver dudas, preparar exámenes o agendar clases particulares personalizadas 1 a 1.

Escríbeme por WhatsApp Llamar directamente