Relación de lados en el triángulo 45°-45°-90°: cateto = hipotenusa / √2
Aplicar la relación fija entre los lados de un triángulo notable 45°-45°-90° para calcular catetos o hipotenusa.
Introducción
En un triángulo 45-45-90, la proporción entre sus lados es siempre la misma, sin importar su tamaño, lo que permite calcular un lado a partir del otro sin usar el teorema de Pitágoras cada vez.
Explicación
Definición formal
Esta relación se obtiene aplicando Pitágoras a los dos catetos iguales: $h^2=l^2+l^2=2l^2$, por lo que $h=l\sqrt2$.
Desarrollo didáctico
Un triángulo 45-45-90 con catetos de 5 cm tiene hipotenusa $h=5\sqrt2\approx7,07$ cm. Si en cambio se conoce la hipotenusa (por ejemplo 10 cm), el cateto es $l=\frac{10}{\sqrt2}=5\sqrt2\approx7,07$ cm.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica si el dato conocido es el cateto o la hipotenusa.
- Paso 2: Si conoces el cateto l, multiplícalo por √2 para obtener la hipotenusa.
- Paso 3: Si conoces la hipotenusa h, divídela entre √2 para obtener el cateto.
Ejemplos
1 Un triángulo 45-45-90 tiene catetos de 5 cm.
- h=5√2≈7,07 cm.
2 Un triángulo 45-45-90 tiene hipotenusa de 10 cm.
- l=10/√2=5√2≈7,07 cm.
3 ¿La hipotenusa es siempre mayor que cada cateto?
- Sí, porque √2≈1,41 es mayor que 1, la hipotenusa siempre es mayor que el cateto.
4 ¿Esta relación proviene del teorema de Pitágoras?
- Sí, se deriva directamente de aplicar Pitágoras a los dos catetos iguales.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Olvidar la raíz cuadrada de 2 y multiplicar solo por 2."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir cuándo multiplicar por √2 y cuándo dividir por √2."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Aplicar esta relación a un triángulo que no es realmente 45-45-90."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
En un triángulo 45°-45°-90° con catetos de longitud $l$, la hipotenusa mide $h=l\sqrt2$; equivalentemente, $l=\frac{h}{\sqrt2}$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
En un triángulo 45-45-90, si el cateto es l, la hipotenusa es:
Es la relación fija de este triángulo notable.
Respuesta: A) l√2
-
Un triángulo 45-45-90 con catetos de 5 cm tiene hipotenusa 5√2 cm.
h=l√2=5√2.
Respuesta: Verdadero
-
¿De dónde proviene la relación h=l√2?
h²=l²+l²=2l² → h=l√2.
Respuesta: A) De aplicar el teorema de Pitágoras a los dos catetos iguales
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
En este triángulo, la hipotenusa siempre es menor que cada cateto.
La hipotenusa siempre es mayor, ya que √2>1.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Un triángulo 45-45-90 tiene catetos de 8 cm. ¿Cuánto mide su hipotenusa?
h=8√2≈11,31 cm.
Respuesta: A) 8√2 cm
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Un triángulo 45-45-90 con hipotenusa 6√2 cm tiene catetos de 6 cm.
l=6√2/√2=6.
Respuesta: Verdadero
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Un triángulo 45-45-90 tiene hipotenusa 14 cm. ¿Cuánto mide aproximadamente cada cateto?
l=14/√2≈9,9 cm.
Respuesta: A) 9,9 cm
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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¿Cuál es el error frecuente al aplicar esta relación?
Es un error común confundir √2 con 2.
Respuesta: A) Multiplicar por 2 en vez de √2
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El área de un triángulo 45-45-90 con cateto l es l²/2.
A=(l×l)/2=l²/2, ya que ambos catetos son iguales y perpendiculares.
Respuesta: Verdadero
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Un triángulo 45-45-90 tiene área 8 cm². ¿Cuánto mide cada cateto?
8=l²/2 → l²=16 → l=4.
Respuesta: A) 4 cm