Relación de lados en el triángulo 30°-60°-90°: cateto opuesto 30°= ½ hipotenusa, cateto opuesto 60°= hipotenusa·√3/2
Aplicar la relación fija entre los lados de un triángulo notable 30°-60°-90° para calcular catetos o hipotenusa.
Introducción
Al igual que el 45-45-90, el triángulo 30-60-90 tiene una proporción fija entre sus lados, pero en este caso los tres lados son distintos entre sí.
Explicación
Definición formal
Si la hipotenusa mide $h$, el cateto menor (opuesto a 30°) mide $\frac{h}{2}$, y el cateto mayor (opuesto a 60°) mide $\frac{h}{2}\times\sqrt3=\frac{h\sqrt3}{2}$; esta relación se verifica con Pitágoras: $\left(\frac{h}{2}\right)^2+\left(\frac{h\sqrt3}{2}\right)^2=\frac{h^2}{4}+\frac{3h^2}{4}=h^2$.
Desarrollo didáctico
Un triángulo 30-60-90 con hipotenusa 10 cm tiene cateto menor $\frac{10}{2}=5$ cm (opuesto a 30°) y cateto mayor $\frac{10\sqrt3}{2}=5\sqrt3\approx8,66$ cm (opuesto a 60°).
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica la hipotenusa del triángulo.
- Paso 2: El cateto opuesto al ángulo de 30° es la mitad de la hipotenusa.
- Paso 3: El cateto opuesto al ángulo de 60° es la mitad de la hipotenusa multiplicada por √3.
Ejemplos
1 Un triángulo 30-60-90 tiene hipotenusa 10 cm.
- Cateto opuesto a 30°: 10/2=5 cm. Cateto opuesto a 60°: 5√3≈8,66 cm.
2 El cateto opuesto al ángulo de 30° mide 6 cm.
- La hipotenusa es el doble del cateto menor: h=12 cm.
3 ¿El cateto opuesto a 60° es siempre mayor que el opuesto a 30°?
- Sí, porque √3≈1,73 es mayor que 1.
4 ¿La hipotenusa es siempre el lado más largo?
- Sí, la hipotenusa es siempre el lado opuesto al ángulo recto, el mayor de los tres.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir cuál cateto corresponde al ángulo de 30° y cuál al de 60°."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar el factor √3 al calcular el cateto mayor."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Calcular la hipotenusa como el doble del cateto mayor en vez del menor."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
En un triángulo 30°-60°-90° con hipotenusa $h$: el cateto opuesto al ángulo de 30° mide $\frac{h}{2}$, y el cateto opuesto al ángulo de 60° mide $\frac{h\sqrt3}{2}$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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En un triángulo 30-60-90 con hipotenusa h, el cateto opuesto a 30° mide:
Es la relación fija de este triángulo notable.
Respuesta: A) h/2
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Un triángulo 30-60-90 con hipotenusa 10 tiene cateto menor 5.
10/2=5.
Respuesta: Verdadero
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¿Cuál es el cateto opuesto al ángulo de 60° si la hipotenusa es h?
Es la relación fija para el cateto mayor.
Respuesta: A) h√3/2
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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El cateto opuesto a 30° es mayor que el cateto opuesto a 60°.
Es al revés: el opuesto a 60° es mayor, ya que √3>1.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Un triángulo 30-60-90 tiene hipotenusa 8 cm. ¿Cuánto mide el cateto opuesto a 30°?
8/2=4.
Respuesta: A) 4 cm
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Un triángulo 30-60-90 con hipotenusa 8 cm tiene cateto opuesto a 60° de 4√3 cm.
8×√3/2=4√3.
Respuesta: Verdadero
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El cateto opuesto al ángulo de 30° mide 7 cm. ¿Cuál es la hipotenusa?
h=2×7=14.
Respuesta: A) 14 cm
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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El área de un triángulo 30-60-90 con hipotenusa h es (h²√3)/8.
A=(h/2 × h√3/2)/2=(h²√3/4)/2=h²√3/8.
Respuesta: Verdadero
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Un triángulo 30-60-90 tiene cateto opuesto a 60° igual a 9√3 cm. ¿Cuál es su hipotenusa?
9√3=h√3/2 → h=18.
Respuesta: A) 18 cm
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¿Cuál es el error frecuente al aplicar esta relación?
Es un error frecuente al aplicar esta relación de lados.
Respuesta: A) Confundir qué cateto corresponde a 30° y cuál a 60°