Cálculo de un cateto usando su proyección y la hipotenusa
Aplicar la relación del cateto como media geométrica para resolver problemas numéricos concretos.
Introducción
Con la relación b²=c·m ya establecida, es momento de aplicarla directamente para resolver ejercicios numéricos donde se conocen la hipotenusa y una proyección.
Explicación
Definición formal
Si la hipotenusa es $c=18$ y la proyección de un cateto es $m=8$, ese cateto es $b=\sqrt{18\times8}=\sqrt{144}=12$.
Desarrollo didáctico
Este cálculo es una aplicación numérica directa de la relación $b^2=c\cdot m$, útil cuando se conocen la hipotenusa completa y una de las dos proyecciones (no ambos catetos).
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica la hipotenusa completa y la proyección del cateto buscado.
- Paso 2: Multiplica ambos valores.
- Paso 3: Calcula la raíz cuadrada del producto: ese es el cateto buscado.
Ejemplos
1 La hipotenusa mide 18 y la proyección de un cateto es 8.
- b=√(18×8)=√144=12.
2 La hipotenusa mide 27 y la proyección de un cateto es 3.
- b=√(27×3)=√81=9.
3 ¿Se puede aplicar esta relación sin conocer la hipotenusa completa?
- No, esta relación específica requiere conocer la hipotenusa y la proyección correspondiente.
4 ¿El resultado siempre es menor que la hipotenusa?
- Sí, todo cateto es menor que la hipotenusa en un triángulo rectángulo.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir cuál proyección corresponde al cateto que se busca."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Multiplicar la proyección por sí misma en vez de por la hipotenusa."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar extraer la raíz cuadrada al final."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para calcular un cateto conocidas la hipotenusa y su proyección, se multiplica ambas y se extrae la raíz cuadrada.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Para calcular un cateto con su proyección y la hipotenusa se usa:
Es la fórmula de la relación métrica correspondiente.
Respuesta: A) b=√(c·m)
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Con hipotenusa 18 y proyección 8, el cateto correspondiente mide 12.
√(18×8)=√144=12.
Respuesta: Verdadero
-
Con hipotenusa 20 y proyección 5, ¿cuánto mide el cateto correspondiente?
√(20×5)=√100=10.
Respuesta: A) 10
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Con hipotenusa 32 y proyección 2, el cateto mide 8.
√(32×2)=√64=8.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Con hipotenusa 45 y proyección 5, ¿cuánto mide el cateto?
√(45×5)=√225=15.
Respuesta: A) 15
-
Con hipotenusa 50 y proyección 18, el cateto correspondiente mide 30.
√(50×18)=√900=30.
Respuesta: Verdadero
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Un cateto mide 21 y su proyección es 9. ¿Cuánto mide la hipotenusa?
21²=441=c×9 → c=441/9=49.
Respuesta: A) 49
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el error frecuente al usar esta relación?
Cada cateto solo se relaciona con su propia proyección.
Respuesta: A) Usar la proyección del otro cateto
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Si se conoce un cateto y la hipotenusa, se puede despejar la proyección de ese cateto de esta misma fórmula.
m=b²/c, despejando de b²=c·m.
Respuesta: Verdadero
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Un cateto mide 15 y su proyección es 9. ¿Cuánto mide la hipotenusa?
15²=225=c×9 → c=225/9=25.
Respuesta: A) 25