Generación del cilindro como sólido de revolución
Reconocer que el cilindro se genera al hacer girar un rectángulo 360° alrededor de uno de sus lados.
Introducción
Si tomas un rectángulo y lo giras rápidamente alrededor de uno de sus lados, el barrido que genera en el espacio forma un cilindro.
Explicación
Definición formal
Al rotar un rectángulo de lados $b$ y $h$ 360° alrededor del lado $h$ (que actúa como eje), se genera un cilindro cuya altura es $h$ y cuyo radio de las bases es $b$ (el lado perpendicular al eje).
Desarrollo didáctico
En la figura, el rectángulo resaltado gira alrededor del eje vertical (uno de sus lados), 'barriendo' el espacio y generando el cilindro mostrado a la derecha. El lado del rectángulo usado como eje se convierte en la altura del cilindro, y el otro lado (perpendicular) se convierte en el radio.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica el rectángulo generador y cuál de sus lados actuará como eje de rotación.
- Paso 2: Reconoce que el lado usado como eje se convierte en la altura (h) del cilindro.
- Paso 3: Reconoce que el lado perpendicular al eje se convierte en el radio (r) de las bases del cilindro.
Ejemplos
1 Un rectángulo de 4 cm × 9 cm gira alrededor de su lado de 9 cm.
- Se genera un cilindro de altura h=9 cm (el eje) y radio r=4 cm (el lado perpendicular).
2 Un rectángulo puede rotar alrededor de cualquiera de sus dos lados distintos.
- Según qué lado se use como eje, cambian los valores de r y h del cilindro resultante (se intercambian).
3 ¿El lado usado como eje se convierte en la altura del cilindro?
- Sí, el lado que permanece fijo (el eje) se convierte exactamente en la altura del cilindro generado.
4 ¿Rotar el mismo rectángulo alrededor de su otro lado genera el mismo cilindro?
- No, se generaría un cilindro distinto, con el radio y la altura intercambiados respecto del primer caso.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir cuál lado del rectángulo se convierte en el radio y cuál en la altura del cilindro."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar que el giro debe ser de 360° completos para generar el cilindro cerrado."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Creer que cualquier rotación de un rectángulo genera siempre el mismo cilindro, sin importar el eje elegido."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
El cilindro se genera al rotar un rectángulo 360° alrededor de uno de sus lados: ese lado se convierte en el eje (y en la altura), y el lado perpendicular se convierte en el radio de las bases.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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El cilindro se genera al rotar un rectángulo alrededor de:
El lado usado como eje se convierte en la altura del cilindro.
Respuesta: A) Uno de sus lados
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Un rectángulo de 4 cm × 9 cm que gira alrededor de su lado de 9 cm genera un cilindro de altura 9 cm y radio 4 cm.
El lado usado como eje (9 cm) es la altura; el otro lado (4 cm) es el radio.
Respuesta: Verdadero
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¿Qué ocurre si se rota el mismo rectángulo alrededor de su otro lado?
El resultado depende de cuál lado se elija como eje.
Respuesta: A) Se genera un cilindro distinto, con radio y altura intercambiados
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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El lado usado como eje de rotación se convierte en el radio del cilindro.
El lado usado como eje se convierte en la altura, no en el radio.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Un rectángulo de 5 cm × 12 cm gira alrededor de su lado de 12 cm. ¿Cuál es el radio del cilindro resultante?
El lado perpendicular al eje (5 cm) se convierte en el radio.
Respuesta: A) 5 cm
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Un rectángulo genera, al rotar, un cilindro de radio 4 cm y altura 15 cm. ¿Cuáles eran las dimensiones del rectángulo original?
El rectángulo tiene las mismas medidas que el radio y la altura del cilindro generado.
Respuesta: A) 4 cm × 15 cm
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Un rectángulo de 6 cm × 10 cm que gira alrededor de su lado de 6 cm genera un cilindro de altura 6 cm.
El lado usado como eje (6 cm) se convierte en la altura.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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¿Cuál es el error frecuente al identificar esta generación?
Es un error común no fijar claramente cuál lado actúa como eje.
Respuesta: A) Intercambiar cuál lado se convierte en radio y cuál en altura
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Un torno de carpintería que talla una pieza cilíndrica de madera aplica exactamente este principio de generación por rotación.
Es una aplicación práctica directa de este concepto.
Respuesta: Verdadero
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Una hoja de papel rectangular de 8 cm × 20 cm se enrolla mentalmente en un giro imaginario alrededor de su lado de 20 cm. ¿Qué dimensiones tendría el cilindro generado?
El lado usado como eje (20 cm) es la altura; el otro lado (8 cm) es el radio.
Respuesta: A) Radio 8 cm, altura 20 cm