Resolución de sistemas para hallar intersecciones entre recta y circunferencia
Resolver el sistema formado por las ecuaciones de una recta y una circunferencia, para encontrar sus puntos de intersección.
Introducción
Los puntos de intersección entre una recta y una circunferencia se obtienen sustituyendo la ecuación de la recta en la de la circunferencia, resultando en una ecuación cuadrática en una sola variable.
Explicación
Definición formal
Sustituyendo $y=mx+b$ en $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$, se obtiene una ecuación cuadrática $Ax^2+Bx+C=0$, cuyas soluciones (si existen) dan las coordenadas x de los puntos de intersección.
Desarrollo didáctico
Para la recta $y=3$ y la circunferencia $x^2+y^2=25$: sustituyendo, $x^2+9=25$, por lo que $x^2=16$, dando $x=4$ o $x=-4$. Los puntos de intersección son $(4,3)$ y $(-4,3)$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Despeja y en la ecuación de la recta (si no lo está ya).
- Paso 2: Sustituye esa expresión de y en la ecuación de la circunferencia.
- Paso 3: Resuelve la ecuación cuadrática resultante en x, y luego calcula el valor de y correspondiente para cada solución.
Ejemplos
1 Recta horizontal, circunferencia dada.
- Sustituyendo: x²+9=25 → x²=16 → x=±4. Los puntos son (4,3) y (-4,3).
2 Recta vertical, circunferencia dada.
- Sustituyendo: 0+y²=16 → y=±4. Los puntos son (0,4) y (0,-4).
3 ¿La sustitución siempre genera una ecuación cuadrática en una variable?
- Sí, al sustituir una variable en función de la otra, la ecuación de la circunferencia se convierte en cuadrática.
4 ¿Puede este sistema tener cero, una o dos soluciones reales?
- Sí, dependiendo de si la recta es exterior, tangente o secante a la circunferencia.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Olvidar sustituir correctamente la expresión completa de y en la ecuación de la circunferencia."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Cometer errores algebraicos al expandir el cuadrado de la expresión sustituida."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar calcular el valor correspondiente de y después de encontrar cada solución de x."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para hallar la intersección entre una recta $y=mx+b$ y una circunferencia $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$, se sustituye la expresión de $y$ en la ecuación de la circunferencia, obteniendo una ecuación cuadrática en $x$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Para resolver el sistema recta-circunferencia, se debe:
Es el método algebraico estándar para este sistema.
Respuesta: A) Sustituir la ecuación de la recta en la de la circunferencia
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Al sustituir, se obtiene una ecuación cuadrática en una sola variable.
Es el resultado directo de esta sustitución.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuántas soluciones puede tener este sistema como máximo?
Corresponde al caso de recta secante.
Respuesta: A) Dos
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Este sistema siempre tiene exactamente dos soluciones.
Puede tener 0, 1 o 2 soluciones, según la posición relativa.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Cuáles son los puntos de intersección entre y=4 y x²+y²=25?
x²+16=25 → x²=9 → x=±3.
Respuesta: A) (3,4) y (-3,4)
-
La intersección entre x=3 y x²+y²=25 son los puntos (3,4) y (3,-4).
9+y²=25 → y²=16 → y=±4.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuáles son los puntos de intersección entre y=0 y x²+y²=36?
x²+0=36 → x=±6.
Respuesta: A) (6,0) y (-6,0)
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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El número de soluciones reales de este sistema está directamente relacionado con si la recta es secante, tangente o exterior a la circunferencia.
Es la conexión directa entre el álgebra del sistema y la geometría de la situación.
Respuesta: Verdadero
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Una carretera recta x=0 cruza una laguna circular x²+y²=64. ¿Cuáles son los puntos de cruce?
0+y²=64 → y=±8.
Respuesta: A) (0,8) y (0,-8)
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¿Cuál es una aplicación práctica de resolver este tipo de sistema?
Es una aplicación práctica directa de este procedimiento.
Respuesta: A) Determinar los puntos exactos donde una carretera recta cruza el límite de una laguna circular