Interpretación del discriminante del sistema recta-circunferencia
Interpretar el signo del discriminante de la ecuación cuadrática resultante del sistema recta-circunferencia, para determinar si la recta es secante, tangente o exterior sin necesidad de resolver completamente el sistema.
Introducción
Al igual que en cualquier ecuación cuadrática, el discriminante anticipa cuántas soluciones reales existen, lo que en este contexto se traduce directamente en el tipo de posición relativa entre la recta y la circunferencia.
Explicación
Definición formal
El discriminante $\Delta=B^2-4AC$ de la ecuación cuadrática obtenida al sustituir la recta en la circunferencia determina el número de soluciones reales: dos si $\Delta>0$ (secante), una si $\Delta=0$ (tangente), ninguna si $\Delta<0$ (exterior).
Desarrollo didáctico
En la figura, las rectas $y=2$, $y=4$ e $y=6$ se relacionan con la circunferencia $x^2+y^2=16$ (radio 4) de tres formas distintas: la primera es secante (discriminante positivo), la segunda es tangente (discriminante cero, ya que toca justo en el punto más alto), y la tercera es exterior (discriminante negativo).
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Sustituye la ecuación de la recta en la de la circunferencia para obtener una ecuación cuadrática.
- Paso 2: Calcula el discriminante Δ=B²-4AC de esa ecuación cuadrática.
- Paso 3: Interpreta el signo de Δ: positivo (secante), cero (tangente), negativo (exterior).
Ejemplos
1 Δ=36 (positivo).
- Como Δ>0, la recta es secante a la circunferencia, cortándola en dos puntos distintos.
2 Δ=0.
- Como Δ=0, la recta es tangente a la circunferencia, tocándola en un único punto.
3 ¿Un discriminante negativo indica que la recta es exterior a la circunferencia?
- Sí, un discriminante negativo significa que no existen soluciones reales, es decir, no hay puntos de intersección.
4 ¿Es necesario resolver completamente la ecuación cuadrática para saber el tipo de posición relativa?
- No, basta con calcular el signo del discriminante, sin necesidad de encontrar los valores exactos de las soluciones.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir el signo del discriminante con el número de soluciones (por ejemplo, asociar discriminante positivo con una única solución)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Cometer errores al calcular A, B o C de la ecuación cuadrática antes de aplicar la fórmula del discriminante."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar que un discriminante negativo no significa un error de cálculo, sino que simplemente no existen soluciones reales."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Si al sustituir la recta en la circunferencia se obtiene la ecuación cuadrática $Ax^2+Bx+C=0$, su discriminante $\Delta=B^2-4AC$ determina la posición relativa: si $\Delta>0$, la recta es secante (dos puntos); si $\Delta=0$, es tangente (un punto); si $\Delta<0$, es exterior (ningún punto real).
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Si el discriminante de la ecuación cuadrática resultante es positivo, la recta es:
Discriminante positivo implica dos soluciones reales distintas.
Respuesta: A) Secante
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Un discriminante igual a 0 indica que la recta es tangente a la circunferencia.
Corresponde a una única solución real (doble).
Respuesta: Verdadero
-
¿Qué tipo de posición relativa indica un discriminante negativo?
Un discriminante negativo indica ausencia de soluciones reales.
Respuesta: A) Recta exterior
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Un discriminante negativo indica que hay dos puntos de intersección.
Un discriminante negativo indica que no hay ninguna solución real.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Si Δ=25, ¿qué tipo de recta es respecto de la circunferencia?
Δ>0 implica dos soluciones reales.
Respuesta: A) Secante
-
Si Δ=-9, la recta no tiene ningún punto en común con la circunferencia.
Un discriminante negativo confirma la ausencia de intersección real.
Respuesta: Verdadero
-
Si al resolver el sistema se obtiene la ecuación 2x²+4x+2=0, con Δ=16-16=0, ¿qué relación tiene la recta con la circunferencia?
Δ=0 corresponde a una única solución (tangencia).
Respuesta: A) Es tangente
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Al sustituir una recta en una circunferencia se obtiene x²-6x+9=0 (Δ=36-36=0). ¿Qué se puede concluir sobre la recta?
Δ=0 indica una única solución real, correspondiente a tangencia.
Respuesta: A) Es tangente a la circunferencia
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¿Cuál es la ventaja de usar el discriminante en vez de calcular la distancia del centro a la recta?
Es un método algebraico alternativo al de la distancia punto-recta.
Respuesta: A) Permite determinar la posición relativa directamente desde la ecuación cuadrática del sistema, sin necesidad de una fórmula geométrica adicional
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El criterio del discriminante y el criterio de la distancia del centro a la recta son dos métodos equivalentes para determinar la posición relativa entre una recta y una circunferencia.
Ambos métodos, aunque distintos en su procedimiento, llegan siempre a la misma conclusión.
Respuesta: Verdadero