Cálculo de la distancia entre dos puntos del plano cartesiano
Calcular la distancia entre dos puntos del plano cartesiano, aplicando el teorema de Pitágoras a las diferencias de sus coordenadas.
Introducción
La distancia entre dos puntos es la longitud del segmento que los une, y se calcula considerando ese segmento como la hipotenusa de un triángulo rectángulo formado por las diferencias de sus coordenadas.
Explicación
Definición formal
La distancia $d$ entre $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$ se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras a los catetos $|x_2-x_1|$ y $|y_2-y_1|$: $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$.
Desarrollo didáctico
Para $A(-3,-2)$ y $B(3,3)$: $d=\sqrt{(3-(-3))^2+(3-(-2))^2}=\sqrt{36+25}=\sqrt{61}\approx7{,}81$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica las coordenadas de ambos puntos.
- Paso 2: Calcula las diferencias (x2-x1) y (y2-y1), y elévalas al cuadrado.
- Paso 3: Suma ambos cuadrados y extrae la raíz cuadrada del resultado.
Ejemplos
1 A(-3,-2), B(3,3).
- d=√((3-(-3))²+(3-(-2))²)=√(36+25)=√61≈7,81.
2 (0,0), (3,4).
- d=√(9+16)=√25=5.
3 ¿El orden de los puntos afecta el resultado de la distancia?
- No, ya que las diferencias se elevan al cuadrado, eliminando el efecto del signo.
4 ¿La distancia entre dos puntos puede ser un número negativo?
- No, la distancia es siempre un valor positivo (o cero si los puntos coinciden).
Ejemplos Verdadero/Falso
"Olvidar elevar al cuadrado las diferencias antes de sumarlas."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No extraer la raíz cuadrada al final del cálculo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir el orden de los puntos al restar, lo cual no afecta el resultado final pero puede generar confusión en los signos intermedios."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La distancia entre dos puntos $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$ es $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
¿En qué teorema se basa la fórmula de distancia entre dos puntos?
Las diferencias de coordenadas forman los catetos de un triángulo rectángulo.
Respuesta: A) Teorema de Pitágoras
-
La distancia entre (x1,y1) y (x2,y2) es:
Es la fórmula de distancia, derivada del teorema de Pitágoras.
Respuesta: A) √((x2-x1)²+(y2-y1)²)
-
La distancia entre (0,0) y (3,4) es 5.
√(9+16)=√25=5.
Respuesta: Verdadero
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
La distancia entre dos puntos puede ser negativa.
La distancia es siempre no negativa.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
¿Cuál es la distancia entre (1,1) y (4,5)?
√((4-1)²+(5-1)²)=√(9+16)=√25=5.
Respuesta: A) 5
-
La distancia entre (-2,3) y (2,0) es 5.
√((2-(-2))²+(0-3)²)=√(16+9)=√25=5.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuál es la distancia entre (0,5) y (12,0)?
√(144+25)=√169=13.
Respuesta: A) 13
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Esta fórmula se puede usar para calcular la distancia real entre dos ciudades representadas en un mapa con coordenadas cartesianas.
Es una aplicación práctica común de esta fórmula.
Respuesta: Verdadero
-
Dos drones están en las posiciones (5,12) y (0,0) de un plano de vuelo (en metros). ¿Cuál es la distancia entre ellos?
√(25+144)=√169=13.
Respuesta: A) 13 m
-
¿Por qué se elevan al cuadrado las diferencias de coordenadas en esta fórmula?
Es la justificación matemática de esta fórmula.
Respuesta: A) Para aplicar el teorema de Pitágoras y evitar que el signo de la diferencia afecte el resultado