Determinación de la colinealidad de tres puntos en el plano
Determinar si tres puntos del plano son colineales (pertenecen a una misma recta), verificando que la pendiente entre cada par de puntos sea la misma.
Introducción
Tres puntos son colineales si, al unirlos, forman una única línea recta; esto se puede verificar comparando las pendientes entre distintos pares de esos puntos.
Explicación
Definición formal
Sean $A(x_1,y_1)$, $B(x_2,y_2)$ y $C(x_3,y_3)$. Son colineales si $\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\dfrac{y_3-y_2}{x_3-x_2}$.
Desarrollo didáctico
Para los puntos $A(-2,-2)$, $B(1,1)$ y $C(3,3)$: la pendiente entre $A$ y $B$ es $\dfrac{1-(-2)}{1-(-2)}=1$, y entre $B$ y $C$ es $\dfrac{3-1}{3-1}=1$. Como ambas pendientes son iguales, los tres puntos son colineales.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Calcula la pendiente entre el primer y el segundo punto.
- Paso 2: Calcula la pendiente entre el segundo y el tercer punto.
- Paso 3: Si ambas pendientes son iguales, los tres puntos son colineales.
Ejemplos
1 Tres puntos dados.
- m(AB)=1, m(BC)=1. Como son iguales, los puntos son colineales.
2 A(0,0), B(2,4), C(5,6).
- m(AB)=4/2=2, m(BC)=(6-4)/(5-2)=2/3. Como las pendientes son distintas, los puntos no son colineales.
3 ¿Basta con comparar dos pares de pendientes para verificar colinealidad de tres puntos?
- Sí, si m(AB)=m(BC), automáticamente también m(AC) será igual a ambas.
4 ¿Tres puntos elegidos al azar suelen ser colineales?
- No, en general tres puntos arbitrarios no son colineales; la colinealidad es una condición especial.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Comparar solo las coordenadas de los puntos, sin calcular realmente las pendientes."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Cometer errores de signo al calcular alguna de las pendientes."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Concluir colinealidad con pendientes que son solo aproximadamente iguales, sin verificar la igualdad exacta."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Tres puntos $A$, $B$ y $C$ son colineales si la pendiente entre $A$ y $B$ es igual a la pendiente entre $B$ y $C$ (y también igual a la pendiente entre $A$ y $C$).
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Tres puntos son colineales si:
Es la condición de colinealidad.
Respuesta: A) La pendiente entre cada par de puntos es la misma
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Si m(AB)=m(BC), entonces A, B y C son colineales.
Es la condición suficiente de colinealidad usando pendientes.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuántos pares de pendientes basta comparar para verificar la colinealidad de tres puntos?
Si dos pares de pendientes coinciden, el tercero también coincidirá automáticamente.
Respuesta: A) Dos pares (AB y BC, por ejemplo)
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Tres puntos elegidos al azar son generalmente colineales.
La colinealidad es una condición especial, no general.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Son colineales los puntos (0,0), (2,2) y (4,4)?
Todos los puntos satisfacen y=x.
Respuesta: A) Sí, todas las pendientes son 1
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Los puntos (1,3), (2,5) y (4,10) son colineales.
m(AB)=2, m(BC)=5/2=2,5, pendientes distintas.
Respuesta: Falso
-
¿Son colineales los puntos (0,1), (2,5) y (5,11)?
m(AB)=(5-1)/(2-0)=2, m(BC)=(11-5)/(5-2)=2.
Respuesta: A) Sí, todas las pendientes son 2
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Tres sensores registran las posiciones (1,2), (3,8) y (6,k). Si están alineados (colineales), ¿cuál es el valor de k?
m(AB)=(8-2)/(3-1)=3; para colinealidad, m(BC) también debe ser 3: (k-8)/(6-3)=3 → k=8+9=17.
Respuesta: A) 17
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¿Cuál es una aplicación práctica de verificar la colinealidad de puntos?
Es una aplicación práctica directa de este concepto.
Respuesta: A) Comprobar si tres postes están alineados en una calle recta
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Si tres puntos no son colineales, forman un triángulo (con área positiva).
Puntos no colineales siempre determinan un triángulo no degenerado.
Respuesta: Verdadero