Cálculo de la pendiente de una recta dados dos puntos
Calcular la pendiente de una recta que pasa por dos puntos conocidos, usando la razón entre la diferencia de las coordenadas y y la diferencia de las coordenadas x.
Introducción
La pendiente mide qué tan inclinada está una recta, y se puede calcular directamente a partir de dos puntos cualesquiera que pertenezcan a ella.
Explicación
Definición formal
La pendiente entre $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$ es $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$, siempre que $x_1\neq x_2$.
Desarrollo didáctico
Para los puntos $(-2,-2)$ y $(3,3)$: $m=\dfrac{3-(-2)}{3-(-2)}=\dfrac{5}{5}=1$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica las coordenadas de los dos puntos dados.
- Paso 2: Resta las coordenadas y (y2-y1) y las coordenadas x (x2-x1), en el mismo orden.
- Paso 3: Divide la diferencia de y por la diferencia de x para obtener la pendiente.
Ejemplos
1 P1(-2,-2), P2(3,3).
- m=(3-(-2))/(3-(-2))=5/5=1.
2 P1(1,5), P2(4,-1).
- m=(-1-5)/(4-1)=-6/3=-2.
3 ¿El orden de los puntos afecta el resultado de la pendiente?
- No, siempre que se mantenga el mismo orden en numerador y denominador, el resultado es el mismo.
4 ¿Se puede calcular la pendiente si ambos puntos tienen la misma coordenada x?
- No, se produciría una división por cero; en ese caso la recta es vertical y no tiene pendiente definida.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Invertir el orden al restar (usar x1-x2 en el numerador y y2-y1 en el denominador, por ejemplo)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Calcular la pendiente con puntos que tienen la misma coordenada x, sin notar la división por cero."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir cuál diferencia va en el numerador (y) y cuál en el denominador (x)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Dados dos puntos $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$ de una recta (con $x_1\neq x_2$), la pendiente se calcula como $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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La pendiente entre (x1,y1) y (x2,y2) se calcula como:
Es la fórmula estándar de la pendiente entre dos puntos.
Respuesta: A) (y2-y1)/(x2-x1)
-
El orden de los puntos no afecta el resultado, siempre que sea consistente en numerador y denominador.
(y2-y1)/(x2-x1)=(y1-y2)/(x1-x2).
Respuesta: Verdadero
-
¿Qué ocurre si los dos puntos tienen la misma coordenada x?
Se produce una división por cero.
Respuesta: A) La pendiente no está definida
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Si los dos puntos tienen la misma coordenada y, la pendiente es 0.
y2-y1=0, dando una pendiente de 0 (recta horizontal).
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Cuál es la pendiente entre (2,3) y (5,9)?
m=(9-3)/(5-2)=6/3=2.
Respuesta: A) 2
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La pendiente entre (0,4) y (2,0) es -2.
m=(0-4)/(2-0)=-2.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuál es la pendiente entre (-3,5) y (2,-5)?
m=(-5-5)/(2-(-3))=-10/5=-2.
Respuesta: A) -2
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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¿Por qué es importante mantener el mismo orden al restar las coordenadas de ambos puntos?
Invertir el orden de un solo par (no ambos) sí cambiaría el signo del resultado.
Respuesta: A) Para no invertir el signo de la pendiente por error
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La pendiente calculada entre dos puntos de una recta es la misma sin importar qué par de puntos de esa recta se elija.
La pendiente es una propiedad única de toda la recta, no de un par específico de puntos.
Respuesta: Verdadero
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Un ciclista recorre según la posición (2,10) a los 2 min y (6,30) a los 6 min (tiempo en x, distancia en y). ¿Cuál es su velocidad (pendiente)?
m=(30-10)/(6-2)=20/4=5.
Respuesta: A) 5 km/min