Obtención de la ecuación de la recta dados dos puntos

M2 — PAES electiva Media
Objetivo

Obtener la ecuación de una recta conociendo dos puntos por los que pasa, calculando primero la pendiente y luego aplicando la fórmula punto-pendiente.

Introducción

Cuando no se conoce la pendiente directamente, pero sí dos puntos de la recta, se puede calcular la pendiente entre ellos y luego proceder como en el caso punto-pendiente.

Explicación

Ecuación dados dos puntos

Definición formal

Dados $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$ con $x_1\neq x_2$, la pendiente es $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$, y la ecuación de la recta se obtiene sustituyendo $m$ y cualquiera de los dos puntos en $y-y_1=m(x-x_1)$.

Desarrollo didáctico

Para los puntos $(-2,-2)$ y $(3,3)$: $m=\dfrac{3-(-2)}{3-(-2)}=\dfrac{5}{5}=1$. Usando el punto $(-2,-2)$: $y-(-2)=1(x-(-2))$, que simplifica a $y=x$.

Cómo hacerlo paso a paso

  • Paso 1: Calcula la pendiente m entre los dos puntos dados, usando m=(y2-y1)/(x2-x1).
  • Paso 2: Sustituye esa pendiente y uno de los dos puntos en la fórmula punto-pendiente.
  • Paso 3: Simplifica la ecuación para obtener la forma principal (o verifica que el otro punto también la satisfaga).

Ejemplos

1 P1(-2,-2), P2(3,3).
2 P1(0,4), P2(2,0).
3 ¿Se puede usar cualquiera de los dos puntos para aplicar la fórmula punto-pendiente?
4 ¿Es necesario que x1 sea distinto de x2 para calcular la pendiente?

Ejemplos Verdadero/Falso

"Invertir el orden de los puntos al calcular la pendiente (usar x1-x2 en el numerador y y2-y1 en el denominador, por ejemplo)."

¿Es correcta esta afirmación?

"Usar puntos con la misma coordenada x, generando una división por cero."

¿Es correcta esta afirmación?

"Cometer errores de signo al restar coordenadas negativas."

¿Es correcta esta afirmación?

Fuente: Elaboración propia (referencia: Carreño 167).
Resumen

Dados dos puntos $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$ de una recta, se calcula la pendiente $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$, y luego se aplica $y-y_1=m(x-x_1)$.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. Para obtener la ecuación de una recta dados dos puntos, el primer paso es:

  2. Se puede usar cualquiera de los dos puntos para aplicar la fórmula punto-pendiente.

  3. ¿Qué ocurre si los dos puntos dados tienen la misma coordenada x?

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. El orden en que se restan las coordenadas de los puntos no afecta el valor de la pendiente, siempre que sea consistente en numerador y denominador.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. ¿Cuál es la pendiente entre los puntos (1,2) y (4,8)?

  2. La ecuación de la recta que pasa por (1,2) y (4,8) es y=2x.

  3. Obtén la ecuación de la recta que pasa por (0,3) y (5,-2).

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. Un experimento registra que a los 2 segundos la posición es 10 m, y a los 5 segundos es 25 m. ¿Cuál es la ecuación que modela la posición y en función del tiempo x?

  2. Si se verifican tres puntos y todos satisfacen la misma ecuación lineal, se puede concluir que los tres son colineales.

  3. ¿Por qué este método es útil en problemas donde solo se dispone de datos puntuales (no de la pendiente directamente)?

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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