Obtención de la ecuación de la recta dado un punto y la pendiente
Obtener la ecuación de una recta conociendo un punto por el que pasa y su pendiente, usando la fórmula punto-pendiente.
Introducción
Cuando se conoce un punto de la recta y su inclinación (pendiente), no es necesario conocer el coeficiente de posición para escribir su ecuación: existe una fórmula directa.
Explicación
Definición formal
Si una recta tiene pendiente $m$ y pasa por el punto $(x_1,y_1)$, su ecuación es $y-y_1=m(x-x_1)$, que luego puede simplificarse a la forma principal.
Desarrollo didáctico
Para una recta con pendiente $m=2$ que pasa por $(2,2)$: $y-2=2(x-2)$, que al simplificar da $y=2x-2$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica el punto (x1,y1) y la pendiente m dados.
- Paso 2: Sustituye esos valores en la fórmula y-y1=m(x-x1).
- Paso 3: Simplifica la ecuación para obtener la forma principal si se requiere.
Ejemplos
1 Punto (2,2), m=2.
- y-2=2(x-2) → y=2x-2.
2 Punto (-1,3), m=-1.
- y-3=-1(x-(-1))=-1(x+1) → y=-x+2.
3 ¿Se necesita conocer b para usar esta fórmula?
- No, esa es justamente su ventaja: basta con un punto y la pendiente.
4 ¿El resultado final puede escribirse en forma principal?
- Sí, simplificando la ecuación punto-pendiente se obtiene la forma y=mx+b.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Invertir el orden de la resta en la fórmula, usando (x1-x) en vez de (x-x1)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir las coordenadas del punto (x1,y1) al sustituirlas en la fórmula."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar distribuir correctamente el signo al simplificar la ecuación."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La ecuación de una recta que pasa por el punto $(x_1,y_1)$ con pendiente $m$ es $y-y_1=m(x-x_1)$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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La ecuación punto-pendiente de una recta es:
Es la fórmula estándar punto-pendiente.
Respuesta: A) y-y1=m(x-x1)
-
Esta fórmula requiere conocer un punto de la recta y su pendiente.
Son los dos únicos datos necesarios.
Respuesta: Verdadero
-
¿Qué se puede obtener al simplificar la ecuación punto-pendiente?
Es el resultado de despejar y en esta ecuación.
Respuesta: A) La forma principal de la recta
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Se necesita conocer el coeficiente de posición b para usar esta fórmula.
No es necesario, ya que se calcula indirectamente al simplificar.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Obtén la ecuación con punto (1,4) y pendiente 3.
y-4=3(x-1) → y=3x-3+4=3x+1.
Respuesta: A) y=3x+1
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Con punto (0,5) y pendiente -2, la ecuación es y=-2x+5.
y-5=-2(x-0) → y=-2x+5.
Respuesta: Verdadero
-
Obtén la ecuación con punto (-2,1) y pendiente 4.
y-1=4(x+2) → y=4x+8+1=4x+9.
Respuesta: A) y=4x+9
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Distintos puntos de una misma recta, usados en la fórmula punto-pendiente con la misma pendiente m, siempre dan la misma ecuación final simplificada.
Todos los puntos de la misma recta llevan a la misma ecuación tras simplificar.
Respuesta: Verdadero
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Un vehículo parte con 20 litros de combustible y consume 2 litros por cada 10 km recorridos (pendiente -0,2). ¿Cuál es la ecuación que modela los litros y en función de los km x, usando el punto (0,20)?
y-20=-0,2(x-0) → y=-0,2x+20.
Respuesta: A) y=-0,2x+20
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¿En qué situación es especialmente útil la fórmula punto-pendiente?
Es su aplicación más directa y común.
Respuesta: A) Cuando se conoce un punto de la recta y su tasa de cambio, pero no directamente su intercepto con el eje y