Identificación del vector director de una recta en el plano
Identificar el vector director de una recta, que indica su dirección, a partir de su pendiente o de dos puntos que pertenecen a ella.
Introducción
Además de la pendiente, una recta puede describirse mediante un vector que apunta en su misma dirección: el vector director, base de las formas vectorial y paramétrica.
Explicación
Definición formal
Si una recta tiene pendiente $m=\dfrac{d_2}{d_1}$, entonces $\vec{d}=(d_1,d_2)$ es un vector director válido. También se puede obtener restando las coordenadas de dos puntos de la recta: $\vec{d}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$.
Desarrollo didáctico
En la figura, la recta con pendiente $m=0{,}75$ tiene como vector director, por ejemplo, $\vec{d}=(4,3)$, ya que $\dfrac{3}{4}=0{,}75$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica la pendiente m de la recta (o dos puntos que pertenezcan a ella).
- Paso 2: Si tienes la pendiente, elige un vector (d1,d2) tal que d2/d1=m.
- Paso 3: Si tienes dos puntos, calcula el vector restando sus coordenadas: (x2-x1, y2-y1).
Ejemplos
1 m=0,75.
- Un vector director válido es (4,3), ya que 3/4=0,75.
2 P1(1,2), P2(5,8).
- El vector director es (5-1, 8-2)=(4,6).
3 ¿Existe un único vector director para una recta dada?
- No, cualquier múltiplo no nulo de un vector director también es un vector director válido para la misma recta.
4 ¿El vector director determina completamente la posición de la recta en el plano?
- No, el vector director solo determina la dirección; se necesita además un punto de la recta para ubicarla exactamente.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir el vector director con un vector normal (perpendicular) a la recta."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Creer que existe un único vector director válido, sin reconocer sus múltiplos equivalentes."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar que se necesita también un punto de la recta, además del vector director, para determinarla completamente."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
El vector director de una recta es cualquier vector $\vec{d}=(d_1,d_2)$ paralelo a la recta, es decir, que apunta en su misma dirección.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
El vector director de una recta es:
Es la definición de vector director.
Respuesta: A) Un vector paralelo a la recta
-
Existe un único vector director válido para cada recta.
Cualquier múltiplo no nulo de un vector director también lo es.
Respuesta: Falso
-
Si una recta tiene pendiente m=2/3, ¿cuál de estos es un vector director válido?
2/3 coincide con la razón entre las componentes (3,2).
Respuesta: A) (3,2)
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
El vector director por sí solo determina completamente la posición de la recta en el plano.
Se necesita también un punto de la recta.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
¿Cuál es el vector director entre los puntos (2,3) y (6,11)?
(6-2, 11-3)=(4,8).
Respuesta: A) (4,8)
-
El vector (2,4) es un múltiplo del vector (1,2), por lo que ambos son vectores directores de la misma recta.
(2,4)=2×(1,2), son paralelos.
Respuesta: Verdadero
-
Si el vector director es (5,-2), ¿cuál es la pendiente de la recta?
m=-2/5=-0,4.
Respuesta: A) -0,4
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es la principal utilidad del vector director en geometría analítica?
Es su rol principal en la geometría analítica vectorial.
Respuesta: A) Es la base para escribir las ecuaciones vectorial y paramétrica de la recta
-
Dos rectas paralelas pueden tener el mismo vector director.
Rectas paralelas comparten la misma dirección, por lo que pueden compartir vector director.
Respuesta: Verdadero
-
Una recta pasa por los puntos (0,0) y (3,-6). ¿Cuál es un vector director simplificado de esta recta?
El vector (3,-6) simplificado (dividiendo por 3) es (1,-2).
Respuesta: A) (1,-2)