Verificación de validez de una circunferencia mediante radio real positivo
Verificar si una ecuación, tras completar cuadrados, representa efectivamente una circunferencia real, comprobando que el término derecho (r²) sea estrictamente positivo.
Introducción
No toda ecuación con la estructura de una circunferencia representa realmente una: si al completar cuadrados el resultado no es positivo, no existe ninguna figura real (o se reduce a un solo punto).
Explicación
Definición formal
Después de completar cuadrados, si el término derecho de la ecuación resulta ser positivo, existe una circunferencia real con ese centro y ese radio. Si es cero, la ecuación representa solo el punto (h,k). Si es negativo, no existe ninguna solución real.
Desarrollo didáctico
La ecuación $x^2+y^2-2x-2y+3=0$ se completa como $(x-1)^2+(y-1)^2=-1$, un resultado negativo: esta ecuación no representa ninguna circunferencia real, ya que no existen valores reales de x e y que la satisfagan.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Completa los cuadrados en x e y para llevar la ecuación a su forma canónica.
- Paso 2: Observa el valor obtenido en el término derecho de la igualdad.
- Paso 3: Si es positivo, existe una circunferencia real; si es cero, es un único punto; si es negativo, no existe ninguna figura real.
Ejemplos
1 x²+y²-2x-2y-2=0.
- (x-1)²+(y-1)²=4, positivo, por lo que representa una circunferencia real de radio 2.
2 x²+y²-2x-2y+3=0.
- (x-1)²+(y-1)²=-1, negativo, por lo que esta ecuación no representa ninguna circunferencia real.
3 ¿Una ecuación con término derecho igual a 0 representa una circunferencia?
- No, en ese caso representa un único punto (el centro), no una circunferencia propiamente dicha.
4 ¿Es posible que una ecuación con la estructura general de circunferencia no represente ninguna figura real?
- Sí, esto ocurre cuando, al completar cuadrados, se obtiene un valor negativo en el término derecho.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Asumir que toda ecuación con la forma x²+y²+Dx+Ey+F=0 representa automáticamente una circunferencia real."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No completar correctamente los cuadrados antes de evaluar el signo del término derecho."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir el caso de radio 0 (un punto) con el caso de no existencia (radio negativo, imposible)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Una ecuación $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$ representa una circunferencia real si y solo si $r^2>0$. Si $r^2=0$, representa un único punto; si $r^2<0$, no representa ninguna figura real.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Una ecuación (x-h)²+(y-k)²=r² representa una circunferencia real si:
Es la condición necesaria para que exista un radio real positivo.
Respuesta: A) r²>0
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Si r²=0, la ecuación representa un único punto, no una circunferencia.
Un radio de valor 0 corresponde a un solo punto.
Respuesta: Verdadero
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¿Qué ocurre si al completar cuadrados el término derecho resulta negativo?
Un radio al cuadrado negativo no tiene solución real.
Respuesta: A) No existe ninguna figura real que satisfaga la ecuación
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Toda ecuación con la estructura x²+y²+Dx+Ey+F=0 representa automáticamente una circunferencia real.
Depende del signo del término derecho tras completar cuadrados.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Representa una circunferencia real la ecuación (x-2)²+(y-3)²=-4?
No puede existir un radio al cuadrado negativo.
Respuesta: A) No, porque el término derecho es negativo
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La ecuación (x+1)²+(y-2)²=0 representa el punto (-1,2).
Con radio 0, la única solución es el propio centro.
Respuesta: Verdadero
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¿Es válida como circunferencia real la ecuación x²+y²-4x-6y+13=0?
-13+4+9=0, por lo que el término derecho es 0.
Respuesta: A) No, ya que al completar cuadrados se obtiene (x-2)²+(y-3)²=0, un punto, no una circunferencia
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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¿Por qué es importante verificar la validez de una ecuación antes de interpretarla como una circunferencia real?
Es la razón práctica de esta verificación.
Respuesta: A) Porque evita errores al asumir la existencia de una figura geométrica que en realidad no existe
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Es posible construir una ecuación con la forma x²+y²+Dx+Ey+F=0 que, tras completar cuadrados, no represente ninguna figura geométrica real.
Ocurre cuando el término derecho resultante es negativo.
Respuesta: Verdadero
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Un modelo de cobertura satelital propone la ecuación x²+y²-8x-6y+30=0. ¿Es válida como una región de cobertura circular real?
(x-4)²+(y-3)²=-30+16+9=-5, negativo, por lo que no representa una región real.
Respuesta: A) No, ya que al completar cuadrados se obtiene un radio al cuadrado negativo (-5)