Reconocimiento de la ecuación de circunferencia con centro en el origen
Reconocer la ecuación de una circunferencia cuyo centro coincide con el origen del plano cartesiano.
Introducción
La circunferencia más simple de representar analíticamente es aquella centrada en el origen, ya que su ecuación no involucra desplazamientos en x ni en y.
Explicación
Definición formal
Un punto $(x,y)$ pertenece a la circunferencia de centro $(0,0)$ y radio $r$ si su distancia al origen es exactamente $r$: $\sqrt{x^2+y^2}=r$, es decir, $x^2+y^2=r^2$.
Desarrollo didáctico
La ecuación $x^2+y^2=9$ representa una circunferencia centrada en el origen con radio $r=3$, ya que $9=3^2$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Verifica que la ecuación tenga la forma x²+y²=k, sin términos adicionales en x o y.
- Paso 2: Reconoce que el centro de esa circunferencia es el origen (0,0).
- Paso 3: El radio se obtiene calculando la raíz cuadrada de k.
Ejemplos
1 x²+y²=16.
- Esta ecuación representa una circunferencia con centro (0,0) y radio 4 (ya que √16=4).
2 x²+y²=25, punto (3,4).
- 3²+4²=9+16=25, por lo que el punto (3,4) pertenece a esta circunferencia.
3 ¿Toda ecuación x²+y²=k representa una circunferencia centrada en el origen?
- Sí, siempre que k sea positivo, garantizando un radio real.
4 ¿El radio de esta circunferencia puede ser un número negativo?
- No, el radio siempre es una longitud positiva.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir el valor de k con el radio directamente, sin extraer la raíz cuadrada."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Creer que la ecuación x²+y²=k representa una recta en vez de una circunferencia."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Aplicar esta forma simplificada a circunferencias que no están centradas en el origen."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La ecuación de una circunferencia con centro en el origen $(0,0)$ y radio $r$ es $x^2+y^2=r^2$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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La ecuación de una circunferencia con centro en el origen es:
Es la forma más simple de la ecuación de la circunferencia.
Respuesta: A) x²+y²=r²
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x²+y²=9 representa una circunferencia con radio 3.
√9=3.
Respuesta: Verdadero
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¿Qué representa geométricamente la ecuación x²+y²=r²?
Es la definición geométrica de la circunferencia.
Respuesta: A) Todos los puntos a distancia r del origen
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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La ecuación x²+y²=16 tiene centro en (4,4).
Su centro es el origen (0,0); 16 corresponde al cuadrado del radio, no a coordenadas del centro.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Cuál es el radio de la circunferencia x²+y²=49?
√49=7.
Respuesta: A) 7
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El punto (5,0) pertenece a la circunferencia x²+y²=25.
5²+0²=25.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuál es la ecuación de la circunferencia centrada en el origen con radio 6?
r²=36.
Respuesta: A) x²+y²=36
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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¿Cuál de estos puntos pertenece a la circunferencia x²+y²=100?
6²+8²=36+64=100.
Respuesta: A) (6,8)
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Un radar ubicado en el origen de un sistema de coordenadas detecta objetos hasta 50 km de distancia; su alcance se modela con x²+y²=2500.
r²=2500 → r=50, coincidiendo con el alcance descrito.
Respuesta: Verdadero
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¿Por qué la ecuación x²+y²=r² no incluye términos lineales en x o y?
Es la razón algebraica de esta forma simplificada.
Respuesta: A) Porque el centro está exactamente en el origen, sin ningún desplazamiento