Reconocimiento de la ecuación canónica de circunferencia con centro en (h, k)
Reconocer la ecuación canónica de una circunferencia cuyo centro se ubica en un punto (h,k) distinto del origen.
Introducción
Cuando el centro de una circunferencia no coincide con el origen, su ecuación incluye desplazamientos que reflejan las coordenadas de ese centro.
Explicación
Definición formal
Un punto $(x,y)$ pertenece a la circunferencia de centro $(h,k)$ y radio $r$ si su distancia a ese centro es exactamente $r$: $\sqrt{(x-h)^2+(y-k)^2}=r$, es decir, $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$.
Desarrollo didáctico
La ecuación $(x-2)^2+(y-3)^2=9$ representa una circunferencia con centro $(2,3)$ y radio $3$ (ya que $9=3^2$).
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica la ecuación en la forma (x-h)²+(y-k)²=r².
- Paso 2: Reconoce que el centro es el punto (h,k), notando que los signos dentro de los paréntesis se invierten respecto de la ecuación.
- Paso 3: El radio se obtiene calculando la raíz cuadrada del término de la derecha.
Ejemplos
1 (x-2)²+(y-3)²=9.
- Centro (2,3), radio 3.
2 (x+4)²+(y-1)²=16.
- Como (x+4)² equivale a (x-(-4))², el centro es (-4,1), radio 4.
3 ¿El signo dentro del paréntesis se invierte al identificar la coordenada del centro?
- Sí, (x-h) con h positivo da un signo negativo dentro del paréntesis, y viceversa.
4 ¿La ecuación con centro en el origen es un caso particular de esta forma?
- Sí, corresponde al caso h=0, k=0.
Ejemplos Verdadero/Falso
"No invertir el signo al identificar h y k cuando la ecuación tiene (x+h) en vez de (x-h)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir el orden de las coordenadas del centro, invirtiendo h y k."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar extraer la raíz cuadrada del término derecho para obtener el radio."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La ecuación canónica de una circunferencia con centro $(h,k)$ y radio $r$ es $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
La ecuación canónica de una circunferencia con centro (h,k) es:
Es la definición formal de la ecuación canónica.
Respuesta: A) (x-h)²+(y-k)²=r²
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(x-2)²+(y-3)²=9 tiene centro en (2,3).
Los valores dentro de los paréntesis corresponden directamente a h y k.
Respuesta: Verdadero
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¿Cuál es el centro de (x+4)²+(y-1)²=16?
(x+4)²=(x-(-4))², por lo que h=-4.
Respuesta: A) (-4,1)
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
En (x+4)²+(y-1)²=16, el centro es (4,1).
El signo se invierte: el centro real es (-4,1).
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Cuál es la ecuación de la circunferencia con centro (-1,-3) y radio 6?
h=-1, k=-3, r²=36.
Respuesta: A) (x+1)²+(y+3)²=36
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¿Cuál es el radio de (x-5)²+(y+2)²=49?
√49=7.
Respuesta: A) 7
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La ecuación de la circunferencia con centro (3,-2) y radio 5 es (x-3)²+(y+2)²=25.
Se sustituyen h=3, k=-2, r=5.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Una zona de cobertura circular centrada en (10,5) con radio 8 km se modela con (x-10)²+(y-5)²=64.
r²=64=8².
Respuesta: Verdadero
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Un dron debe mantenerse dentro de un área circular centrada en (2,-4) con radio 10 m. ¿Cuál es la ecuación de esa región?
h=2, k=-4, r²=100.
Respuesta: A) (x-2)²+(y+4)²=100
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¿Por qué es un error común confundir el signo del centro en esta ecuación?
Es la fuente típica de este error de interpretación.
Respuesta: A) Porque la fórmula usa (x-h), por lo que un valor positivo de h aparece con signo negativo en la ecuación