Identificación del centro de una circunferencia desde su forma canónica
Identificar correctamente las coordenadas del centro de una circunferencia a partir de su ecuación canónica, prestando atención al cambio de signo.
Introducción
Aunque la fórmula general usa (x-h) y (y-k), en la práctica la ecuación puede aparecer con distintos signos, por lo que se debe tener cuidado al extraer h y k.
Explicación
Definición formal
Si la ecuación es $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$, el centro es $(a,b)$. Si aparece como $(x+a)^2+(y-b)^2=r^2$, se reescribe como $(x-(-a))^2+(y-b)^2=r^2$, por lo que el centro es $(-a,b)$.
Desarrollo didáctico
Para $(x+2)^2+(y-1)^2=16$: reescribiendo, $(x-(-2))^2+(y-1)^2=16$, por lo que el centro es $(-2,1)$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Escribe la ecuación en la forma exacta (x-h)²+(y-k)²=r².
- Paso 2: Si el término dentro del paréntesis tiene signo +, reescríbelo como resta de un número negativo.
- Paso 3: Extrae h y k directamente de esa forma reescrita.
Ejemplos
1 (x-3)²+(y-5)²=4.
- Centro (3,5).
2 (x+2)²+(y-1)²=16.
- Reescribiendo (x+2)² como (x-(-2))², el centro es (-2,1).
3 ¿Un signo + dentro del paréntesis indica una coordenada negativa del centro?
- Sí, (x+a) equivale a (x-(-a)), por lo que esa coordenada del centro es -a.
4 ¿Se puede identificar el centro sin reescribir la ecuación, solo con cuidado en el signo?
- Sí, basta con recordar que el signo del centro es siempre opuesto al signo que aparece en la ecuación.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Tomar el signo que aparece en la ecuación como si fuera directamente el signo de la coordenada del centro."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir el orden de las coordenadas, intercambiando h por k."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar aplicar esta regla de signos cuando ambos términos (x e y) tienen signo positivo dentro del paréntesis."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Dada la ecuación $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$, el centro de la circunferencia es el punto $(h,k)$, considerando que un signo positivo dentro del paréntesis corresponde a un valor negativo de esa coordenada del centro.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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En (x-h)²+(y-k)²=r², el centro es:
Es la definición directa de la ecuación canónica.
Respuesta: A) (h,k)
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En (x+3)²+(y-2)²=25, la primera coordenada del centro es -3.
(x+3)²=(x-(-3))², por lo que h=-3.
Respuesta: Verdadero
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¿Cuál es el centro de (x+1)²+(y+5)²=36?
Ambos signos se invierten: h=-1, k=-5.
Respuesta: A) (-1,-5)
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
En (x+3)²+(y-2)²=25, el centro es (3,2).
El centro real es (-3,2), no (3,2).
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Cuál es el centro de (x-6)²+y²=16?
Como y²=(y-0)², el centro es (6,0).
Respuesta: A) (6,0)
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El centro de x²+(y+7)²=9 es (0,-7).
x²=(x-0)² y (y+7)²=(y-(-7))².
Respuesta: Verdadero
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¿Cuál es el centro de (x-8)²+(y+4)²=100?
h=8, k=-4 (invirtiendo el signo del segundo término).
Respuesta: A) (8,-4)
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Si ambos términos de la ecuación tienen signo positivo (como (x+a)² y (y+b)²), ambas coordenadas del centro son negativas.
Es consecuencia directa de la regla de inversión de signos.
Respuesta: Verdadero
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Una señal de wifi tiene cobertura circular descrita por (x+5)²+(y+3)²=64. ¿Dónde está ubicado el router (centro)?
Invirtiendo ambos signos: centro (-5,-3).
Respuesta: A) (-5,-3)
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¿Cuál es la mejor estrategia para no equivocarse al identificar el centro?
Es la estrategia más segura para evitar errores de signo.
Respuesta: A) Reescribir mentalmente cada término como una resta antes de leer h y k