Completación de cuadrados en la variable y para transformar la ecuación general
Completar el cuadrado de los términos en y de la ecuación general de una circunferencia, de forma análoga al procedimiento usado para x.
Introducción
El mismo procedimiento aplicado a los términos en x se repite de forma idéntica para los términos en y, ya que ambas variables juegan un papel simétrico en la ecuación de la circunferencia.
Explicación
Definición formal
Dado $y^2+Ey$, se agrega el término $\left(\dfrac{E}{2}\right)^2$ para completar el cuadrado perfecto: $y^2+Ey+\left(\dfrac{E}{2}\right)^2=\left(y+\dfrac{E}{2}\right)^2$.
Desarrollo didáctico
Para $y^2+4y$: la mitad de 4 es 2, y su cuadrado es 4. Entonces $y^2+4y+4=(y+2)^2$, restando ese mismo 4 en algún otro lugar de la ecuación.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica el coeficiente E que acompaña a y en el término y²+Ey.
- Paso 2: Calcula (E/2)² y súmalo para completar el cuadrado.
- Paso 3: Resta esa misma cantidad (E/2)² en otro lugar de la ecuación, para mantener la igualdad.
Ejemplos
1 y²+4y.
- (4/2)²=4; y²+4y+4=(y+2)², restando 4 en algún otro lugar de la ecuación completa.
2 y²-10y.
- (-10/2)²=25; y²-10y+25=(y-5)², restando 25 en algún otro lugar de la ecuación completa.
3 ¿Este procedimiento es análogo al usado para x?
- Sí, ambas variables se tratan exactamente de la misma manera, de forma independiente.
4 ¿Se puede completar el cuadrado en x e y de manera simultánea en la misma ecuación?
- Sí, es exactamente el procedimiento necesario para convertir la forma general a la canónica.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Aplicar el procedimiento de x a la variable y sin ajustar correctamente su propio coeficiente E."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar restar la cantidad sumada al completar el cuadrado en y."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir el coeficiente E con el de D al completar los cuadrados de ambas variables."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para completar el cuadrado en $y^2+Ey$, se suma y resta $\left(\dfrac{E}{2}\right)^2$, obteniendo $\left(y+\dfrac{E}{2}\right)^2-\left(\dfrac{E}{2}\right)^2$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Para completar el cuadrado en y²+Ey, se suma:
Es la cantidad exacta que completa el cuadrado perfecto, análogo al caso de x.
Respuesta: A) (E/2)²
-
y²+4y+4 es igual a (y+2)².
Es un cuadrado perfecto correctamente completado.
Respuesta: Verdadero
-
¿El procedimiento para completar el cuadrado en y es distinto al usado para x?
Ambas variables se tratan de forma simétrica.
Respuesta: A) No, es exactamente el mismo procedimiento aplicado a la otra variable
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Para completar el cuadrado en y²-10y, se suma 10².
Se suma (10/2)²=25, no 10²=100.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
¿Qué valor se suma para completar el cuadrado en y²+6y?
(6/2)²=9.
Respuesta: A) 9
-
y²-8y+16=(y-4)².
(-8/2)²=16, y y²-8y+16=(y-4)².
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuál es la forma completada de y²+14y?
(14/2)²=49; y²+14y+49-49=(y+7)²-49.
Respuesta: A) (y+7)²-49
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Al transformar y²-16y en una ecuación de circunferencia, ¿qué cantidad se debe sumar y restar?
(-16/2)²=64.
Respuesta: A) 64
-
Al completar ambos cuadrados (x e y) en la misma ecuación, se deben restar ambas cantidades sumadas para mantener la igualdad.
Cada cuadrado completado requiere su propia compensación algebraica.
Respuesta: Verdadero
-
En la conversión de la forma general a la canónica, ¿en qué orden se suele completar los cuadrados?
Es el procedimiento estándar y ordenado de esta conversión.
Respuesta: A) Se agrupan primero los términos en x, se completa ese cuadrado, y luego se repite para y