Completación de cuadrados en la variable x para transformar la ecuación general
Completar el cuadrado de los términos en x de la ecuación general de una circunferencia, como paso para obtener su forma canónica.
Introducción
Los términos x²+Dx no forman por sí solos un cuadrado perfecto; se necesita sumar una constante específica para completarlo, y luego restar esa misma cantidad para no alterar la ecuación.
Explicación
Definición formal
Dado $x^2+Dx$, se agrega el término $\left(\dfrac{D}{2}\right)^2$ para completar el cuadrado perfecto: $x^2+Dx+\left(\dfrac{D}{2}\right)^2=\left(x+\dfrac{D}{2}\right)^2$.
Desarrollo didáctico
Para $x^2-6x$: la mitad de -6 es -3, y su cuadrado es 9. Entonces $x^2-6x+9=(x-3)^2$, y para no alterar la ecuación original, se debe restar ese mismo 9 en algún otro lugar de la ecuación.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica el coeficiente D que acompaña a x en el término x²+Dx.
- Paso 2: Calcula (D/2)² y súmalo para completar el cuadrado.
- Paso 3: Resta esa misma cantidad (D/2)² en otro lugar de la ecuación, para mantener la igualdad.
Ejemplos
1 x²-6x.
- (-6/2)²=9; x²-6x+9=(x-3)², restando 9 en algún otro lugar de la ecuación completa.
2 x²+8x.
- (8/2)²=16; x²+8x+16=(x+4)², restando 16 en algún otro lugar de la ecuación completa.
3 ¿Se debe restar la misma cantidad que se sumó para no alterar la ecuación?
- Sí, sumar y restar la misma cantidad mantiene la igualdad original.
4 ¿El valor que se suma es siempre el cuadrado de la mitad del coeficiente de x?
- Sí, es exactamente (D/2)², donde D es el coeficiente de x.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Olvidar restar la cantidad sumada al completar el cuadrado, alterando el valor de la ecuación."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Calcular mal la mitad del coeficiente D antes de elevarla al cuadrado."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir el coeficiente D con el valor final del cuadrado completado."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para completar el cuadrado en $x^2+Dx$, se suma y resta $\left(\dfrac{D}{2}\right)^2$, obteniendo $\left(x+\dfrac{D}{2}\right)^2-\left(\dfrac{D}{2}\right)^2$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Para completar el cuadrado en x²+Dx, se suma:
Es la cantidad exacta que completa el cuadrado perfecto.
Respuesta: A) (D/2)²
-
x²-6x+9 es igual a (x-3)².
Es un cuadrado perfecto correctamente completado.
Respuesta: Verdadero
-
¿Qué se debe hacer con la cantidad sumada al completar el cuadrado?
Es necesario para mantener la igualdad original.
Respuesta: A) Restarla en otro lugar de la ecuación para no alterar su valor
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Para completar el cuadrado en x²+8x, se suma 8².
Se suma (8/2)²=16, no 8²=64.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Qué valor se suma para completar el cuadrado en x²+10x?
(10/2)²=25.
Respuesta: A) 25
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x²-4x+4=(x-2)².
(-4/2)²=4, y x²-4x+4=(x-2)².
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuál es la forma completada de x²+12x?
(12/2)²=36; x²+12x+36-36=(x+6)²-36.
Respuesta: A) (x+6)²-36
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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¿Por qué es necesario 'sumar y restar' la misma cantidad al completar el cuadrado?
Es el fundamento algebraico de esta técnica.
Respuesta: A) Porque de esa forma se transforma la expresión sin cambiar su valor total
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Esta técnica de completar cuadrados es la misma que se usa para resolver ecuaciones cuadráticas mediante la fórmula general.
Es la base algebraica compartida por ambos procedimientos.
Respuesta: Verdadero
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Al transformar x²-14x en una ecuación de circunferencia, ¿qué cantidad se debe sumar y restar?
(-14/2)²=49.
Respuesta: A) 49