Propiedad del circuncentro como centro de la circunferencia circunscrita
Reconocer al circuncentro como el centro de la circunferencia circunscrita, la que pasa exactamente por los tres vértices del triángulo.
Introducción
Gracias a la equidistancia del circuncentro respecto a los tres vértices, es posible trazar una única circunferencia centrada en él que pasa exactamente por los tres.
Explicación
Definición formal
La circunferencia circunscrita de un triángulo ABC tiene centro en el circuncentro O y radio igual al circunradio R (la distancia común de O a los tres vértices); pasa por A, B y C.
Desarrollo didáctico
Como O está a la misma distancia R de los tres vértices, una circunferencia de centro O y radio R pasa exactamente por A, B y C, sin importar la forma del triángulo.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Ubica el circuncentro del triángulo.
- Paso 2: Calcula o mide el circunradio (distancia de O a cualquier vértice).
- Paso 3: Traza la circunferencia de centro O y radio igual al circunradio.
Ejemplos
1 Un triángulo tiene circuncentro O y circunradio 5 cm.
- Se traza una circunferencia de centro O y radio 5 cm; pasa por los tres vértices.
2 ¿Por qué la circunferencia circunscrita pasa exactamente por los tres vértices?
- Porque su radio es exactamente la distancia del circuncentro a cada vértice.
3 ¿Todo triángulo tiene una circunferencia circunscrita?
- Sí, todo triángulo tiene una única circunferencia que pasa por sus tres vértices.
4 ¿El centro de la circunferencia circunscrita es el incentro?
- No, el centro de la circunscrita es el circuncentro; el incentro es el centro de la inscrita.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir la circunferencia circunscrita (centrada en el circuncentro) con la inscrita (centrada en el incentro)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Usar un radio distinto al circunradio, haciendo que la circunferencia no pase por algún vértice."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Ubicar el centro en un punto notable distinto al circuncentro."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La circunferencia circunscrita de un triángulo es la que tiene centro en el circuncentro y pasa por los tres vértices.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
¿Cuál es el radio de la circunferencia circunscrita?
Es la distancia del circuncentro a cualquiera de los vértices.
Respuesta: A) El circunradio
-
El centro de la circunferencia circunscrita en un triángulo es:
Es la definición de circunferencia circunscrita.
Respuesta: A) El circuncentro
-
La circunferencia circunscrita pasa por los tres vértices del triángulo.
Es la propiedad definitoria de la circunferencia circunscrita.
Respuesta: Verdadero
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
La circunferencia circunscrita es tangente a los tres lados del triángulo.
Eso describe a la circunferencia inscrita; la circunscrita pasa por los vértices, no es tangente a los lados.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
La circunferencia circunscrita de un triángulo obtusángulo tiene su centro fuera del triángulo.
El circuncentro (centro de la circunscrita) cae fuera del triángulo cuando este es obtusángulo.
Respuesta: Verdadero
-
Para trazar la circunferencia circunscrita, ¿qué dos datos se necesitan?
Centro y radio determinan cualquier circunferencia.
Respuesta: A) El circuncentro y el circunradio
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Un triángulo tiene circunradio 4 cm. ¿Cuál es el radio de su circunferencia circunscrita?
El circunradio ES el radio de la circunferencia circunscrita.
Respuesta: A) 4 cm
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
En un triángulo equilátero, la circunferencia circunscrita y la inscrita comparten el mismo centro.
En el equilátero, circuncentro e incentro coinciden en el mismo punto.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuál es el error frecuente respecto a la circunferencia circunscrita?
Son dos circunferencias notables distintas, con centros y propiedades diferentes.
Respuesta: A) Confundirla con la inscrita
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¿Qué relación existe entre el circunradio R y el lado a de un triángulo, según el teorema del seno?
Es el teorema del seno, que relaciona lados, ángulos opuestos y el circunradio.
Respuesta: A) a/sen(A) = 2R