Alineación del ortocentro, baricentro y circuncentro en triángulos no equiláteros
Aplicar la propiedad de que el baricentro divide el segmento entre el circuncentro y el ortocentro en razón 1:2.
Introducción
La alineación de O, G y H en la recta de Euler no es arbitraria: el baricentro siempre se ubica en una posición precisa entre los otros dos, dividiendo el segmento OH en una razón fija.
Explicación
Definición formal
Si O es el circuncentro, G el baricentro y H el ortocentro de un triángulo, se cumple $OG:GH=1:2$, es decir, $\vec{OH}=3\vec{OG}$, o equivalentemente $H=3G-2O$.
Desarrollo didáctico
Si la distancia de O a G es 4 cm, la distancia de G a H es el doble, 8 cm, y la distancia total de O a H es 4+8=12 cm. Esta relación vectorial es, de hecho, la fórmula usada para calcular el ortocentro a partir del baricentro y el circuncentro.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Calcula o mide la distancia OG (circuncentro a baricentro).
- Paso 2: Multiplica esa distancia por 2 para obtener GH (baricentro a ortocentro).
- Paso 3: Suma ambas distancias para obtener OH (circuncentro a ortocentro) si se necesita.
Ejemplos
1 La distancia OG es 3 cm.
- La distancia GH es el doble, 6 cm.
2 La distancia total OH es 18 cm.
- Como OG:GH=1:2, OG es un tercio del total: 18/3=6 cm, y GH es 12 cm.
3 ¿El baricentro está más cerca del circuncentro o del ortocentro?
- Está más cerca del circuncentro, ya que la parte OG es más corta que la parte GH.
4 ¿Esta razón 1:2 es la misma que la del baricentro sobre las transversales de gravedad?
- Sí, es la misma razón 1:2 (o 2:1 vista desde el otro extremo) que aparece en la propiedad del baricentro.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Invertir la razón, creyendo que el baricentro está más cerca del ortocentro."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir esta razón (sobre la recta de Euler) con otra propiedad distinta del baricentro."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Sumar mal las distancias al calcular el segmento total OH."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
En la recta de Euler, el baricentro divide el segmento entre el circuncentro y el ortocentro en razón OG:GH = 1:2.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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En la recta de Euler, la razón OG:GH es:
Es la razón que divide el baricentro sobre el segmento OH.
Respuesta: A) 1:2
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El baricentro está más cerca del circuncentro que del ortocentro.
La parte OG es más corta que GH.
Respuesta: Verdadero
-
Si OG mide 5 cm, ¿cuánto mide GH?
GH es el doble de OG: 5×2=10 cm.
Respuesta: A) 10 cm
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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El baricentro divide el segmento OH exactamente por la mitad.
Lo divide en razón 1:2, no en partes iguales.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Si OH mide 21 cm, ¿cuánto mide OG?
OG es un tercio del total: 21/3=7 cm.
Respuesta: A) 7 cm
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Si OG mide 4 cm y GH mide 8 cm, entonces OH mide 12 cm.
4+8=12 cm.
Respuesta: Verdadero
-
Si OH mide 30 cm, ¿cuánto mide GH?
GH es dos tercios del total: 30×(2/3)=20 cm.
Respuesta: A) 20 cm
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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¿Cuál es el error frecuente al aplicar esta razón?
El error común es creer que OG es más largo que GH, cuando es al revés.
Respuesta: A) Invertir cuál segmento es más largo (OG o GH)
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La fórmula H=3G−2O (usada para calcular el ortocentro) es consecuencia directa de la razón OG:GH=1:2.
Esta razón vectorial es precisamente la que permite deducir esa fórmula.
Respuesta: Verdadero
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En un triángulo con circuncentro O=(0,0) y baricentro G=(2,1), ¿cuáles son las coordenadas del ortocentro H?
H=3G−2O=3(2,1)−2(0,0)=(6,3).
Respuesta: A) (6,3)