Propiedad del incentro como centro de la circunferencia inscrita
Reconocer al incentro como el centro de la circunferencia inscrita, la que es tangente a los tres lados del triángulo.
Introducción
Gracias a la equidistancia del incentro respecto a los tres lados, es posible trazar una única circunferencia centrada en él que toca (sin cruzar) cada uno de los tres lados.
Explicación
Definición formal
La circunferencia inscrita de un triángulo ABC tiene centro en el incentro I y radio igual al inradio r (la distancia común de I a los tres lados); es tangente a AB, BC y CA.
Desarrollo didáctico
Como I está a la misma distancia r de los tres lados, una circunferencia de centro I y radio r toca exactamente cada lado en un solo punto, sin cruzarlo: es tangente a los tres.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Ubica el incentro del triángulo.
- Paso 2: Calcula o mide el inradio (distancia de I a cualquier lado).
- Paso 3: Traza la circunferencia de centro I y radio igual al inradio.
Ejemplos
1 Un triángulo tiene incentro I e inradio 2 cm.
- Se traza una circunferencia de centro I y radio 2 cm; es tangente a los tres lados.
2 ¿Por qué la circunferencia inscrita no cruza ningún lado?
- Porque su radio es exactamente la distancia del incentro a cada lado, así que solo los toca.
3 ¿La circunferencia inscrita siempre cabe dentro del triángulo?
- Sí, por definición es tangente interior a los tres lados.
4 ¿El centro de la circunferencia inscrita es el circuncentro?
- No, el centro de la inscrita es el incentro; el circuncentro es el centro de la circunscrita.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir la circunferencia inscrita (centrada en el incentro) con la circunscrita (centrada en el circuncentro)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Usar un radio distinto al inradio, haciendo que la circunferencia cruce algún lado."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Ubicar el centro en un punto notable distinto al incentro."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La circunferencia inscrita de un triángulo es la que tiene centro en el incentro y es tangente a los tres lados.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
El centro de la circunferencia inscrita en un triángulo es:
Es la definición de circunferencia inscrita.
Respuesta: A) El incentro
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La circunferencia inscrita es tangente a los tres lados del triángulo.
Es la propiedad definitoria de la circunferencia inscrita.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuál es el radio de la circunferencia inscrita?
Es la distancia del incentro a cualquiera de los lados.
Respuesta: A) El inradio
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
La circunferencia inscrita pasa por los tres vértices del triángulo.
Eso describe a la circunferencia circunscrita; la inscrita es tangente a los lados, no pasa por los vértices.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Para trazar la circunferencia inscrita, ¿qué dos datos se necesitan?
Centro y radio determinan cualquier circunferencia.
Respuesta: A) El incentro y el inradio
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La circunferencia inscrita siempre queda completamente dentro del triángulo.
Al ser tangente interior a los tres lados, no sobresale de la figura.
Respuesta: Verdadero
-
Un triángulo tiene inradio 3 cm. ¿Cuál es el radio de su circunferencia inscrita?
El inradio ES el radio de la circunferencia inscrita.
Respuesta: A) 3 cm
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el error frecuente respecto a la circunferencia inscrita?
Son dos circunferencias notables distintas, con centros y propiedades diferentes.
Respuesta: A) Confundirla con la circunscrita
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En un triángulo equilátero, la circunferencia inscrita y la circunscrita comparten el mismo centro.
En el equilátero, incentro y circuncentro coinciden en el mismo punto.
Respuesta: Verdadero
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¿Qué relación tiene el área de un triángulo con su inradio y semiperímetro s?
Es la fórmula que relaciona área, inradio y semiperímetro.
Respuesta: A) Área = r · s