Modelamiento de sombras proyectadas usando proporcionalidad de Tales
Modelar problemas de sombras proyectadas por objetos verticales, usando la proporcionalidad del teorema de Tales para calcular alturas desconocidas.
Introducción
Una aplicación clásica y muy práctica del teorema de Tales es el cálculo de alturas de objetos altos (como árboles o edificios) usando la sombra que proyectan, comparada con la sombra de un objeto de altura conocida.
Explicación
Definición formal
Como los rayos del sol son prácticamente paralelos entre sí, dos objetos verticales bajo el mismo sol forman triángulos semejantes con sus respectivas sombras, cumpliendo $\frac{h_1}{s_1}=\frac{h_2}{s_2}$, donde $h$ es la altura y $s$ la sombra de cada objeto.
Desarrollo didáctico
Una persona de 1,7 m de altura proyecta una sombra de 2 m; un árbol cercano proyecta una sombra de 12 m en el mismo momento. Usando la proporción: $\frac{1,7}{2}=\frac{h}{12}$, se obtiene $h=\frac{1,7\times12}{2}=10,2$ m, la altura del árbol.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Mide (o identifica) la altura y la sombra de un objeto de referencia conocido.
- Paso 2: Mide la sombra del objeto cuya altura se desconoce, en el mismo momento del día.
- Paso 3: Plantea la proporción altura/sombra entre ambos objetos y despeja la altura desconocida.
Ejemplos
1 Una persona de 1,7 m proyecta sombra de 2 m; un árbol proyecta sombra de 12 m.
- 1,7/2=h/12 → h=1,7×12/2=10,2 m.
2 Un poste de 3 m proyecta sombra de 4 m; un edificio proyecta sombra de 60 m.
- 3/4=h/60 → h=3×60/4=45 m.
3 ¿Las mediciones deben tomarse en el mismo momento del día?
- Sí, porque el ángulo del sol cambia durante el día, alterando la proporción sombra/altura.
4 ¿Este método funciona porque los rayos del sol son prácticamente paralelos?
- Sí, esa es la base geométrica que permite aplicar el teorema de Tales en este contexto.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Tomar las medidas de sombra en momentos distintos del día, cuando el ángulo del sol ha cambiado."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Invertir la proporción, comparando altura con sombra del otro objeto de forma cruzada incorrecta."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar que ambos objetos deben estar sobre terreno plano para que la comparación sea válida."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Dos objetos verticales bajo el mismo sol proyectan sombras proporcionales a sus alturas: $\frac{\text{altura objeto 1}}{\text{sombra objeto 1}}=\frac{\text{altura objeto 2}}{\text{sombra objeto 2}}$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Por qué las mediciones deben tomarse en el mismo momento del día?
Un cambio en el ángulo del sol altera la razón sombra/altura.
Respuesta: A) Porque el ángulo del sol cambia durante el día
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Con una persona de 1,7 m y sombra 2 m, un árbol con sombra 12 m mide 10,2 m.
1,7/2=h/12 → h=10,2.
Respuesta: Verdadero
-
El método de las sombras para calcular alturas se basa en que:
Es la base geométrica que permite aplicar Tales en este contexto.
Respuesta: A) Los rayos del sol son prácticamente paralelos
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Este método requiere medir ángulos con un instrumento especial.
Solo requiere medir longitudes de sombras y una altura de referencia.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Un poste de 3 m proyecta sombra de 4 m; un edificio proyecta sombra de 60 m. ¿Cuánto mide el edificio?
3/4=h/60 → h=45.
Respuesta: A) 45 m
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Una persona de 1,6 m proyecta sombra de 2,4 m. Un poste proyecta sombra de 9 m. ¿Cuánto mide el poste?
1,6/2,4=h/9 → h=1,6×9/2,4=6.
Respuesta: A) 6 m
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Un objeto de 2 m con sombra 3 m, y otro objeto con sombra 9 m, mide 6 m.
2/3=h/9 → h=6.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Este mismo principio se puede aplicar con la sombra proyectada por dos varas verticales de distinta altura clavadas en el mismo terreno.
Es exactamente el mismo principio de Tales aplicado a objetos verticales bajo el mismo sol.
Respuesta: Verdadero
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¿Cuál es el error frecuente en este tipo de problema?
Es el error más común, ya que el ángulo del sol varía con el tiempo.
Respuesta: A) Tomar las medidas en momentos distintos del día
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Una torre proyecta una sombra de 25 m. En el mismo momento, una persona de 1,75 m proyecta una sombra de 2,5 m. ¿Cuánto mide la torre?
1,75/2,5=h/25 → h=1,75×25/2,5=17,5.
Respuesta: A) 17,5 m