Cálculo de longitudes desconocidas usando el teorema de Tales
Resolver problemas numéricos calculando longitudes desconocidas mediante el planteamiento de proporciones basadas en el teorema de Tales.
Introducción
Con el teorema de Tales ya comprendido, tanto en su forma general como en el caso particular de triángulos, es momento de aplicarlo sistemáticamente para resolver problemas de longitudes desconocidas.
Explicación
Definición formal
Dada una proporción $\frac{a}{b}=\frac{c}{x}$ (donde $x$ es la incógnita), se despeja mediante multiplicación cruzada: $x=\frac{b\times c}{a}$.
Desarrollo didáctico
En un triángulo con AD=5, DB=10, AE=8, se busca EC: $\frac{5}{10}=\frac{8}{EC}$, por lo que $EC=\frac{10\times8}{5}=16$. El procedimiento es siempre el mismo: identificar la proporción, sustituir los datos conocidos y despejar.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica la configuración de Tales (paralelas o triángulo) y la proporción que corresponde.
- Paso 2: Sustituye los valores conocidos en la proporción, dejando la incógnita en un lugar.
- Paso 3: Despeja la incógnita mediante multiplicación cruzada.
Ejemplos
1 En un triángulo, AD=5, DB=10, AE=8, y DE es paralela a BC.
- 5/10=8/EC → EC=10×8/5=16.
2 AD=6, DB=9, EC=12.
- 6/9=AE/12 → AE=6×12/9=8.
3 ¿El procedimiento cambia si los datos están en distinta posición de la proporción?
- No, el método de multiplicación cruzada funciona sin importar en qué posición esté la incógnita.
4 ¿Es necesario dibujar la figura para resolver estos problemas?
- No es estrictamente necesario, aunque ayuda a visualizar la correspondencia correcta entre segmentos.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Plantear la proporción con segmentos que no son realmente correspondientes."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Errores aritméticos al despejar la incógnita mediante multiplicación cruzada."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir el segmento AB completo con el segmento parcial AD (o DB) al plantear la ecuación."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para calcular una longitud desconocida usando Tales, se identifica la proporción correcta entre segmentos correspondientes y se despeja la incógnita mediante una multiplicación cruzada.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Con AD=5, DB=10, AE=8, se cumple que EC=16.
5/10=8/EC → EC=16.
Respuesta: Verdadero
-
Para despejar una incógnita en una proporción de Tales se usa:
Es el método estándar para resolver proporciones.
Respuesta: A) Multiplicación cruzada
-
En la proporción a/b=c/x, ¿cómo se despeja x?
Es el despeje correcto por multiplicación cruzada.
Respuesta: A) x=(b×c)/a
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
El método de cálculo cambia según en qué posición de la proporción esté la incógnita.
El método de multiplicación cruzada es el mismo, sin importar la posición de la incógnita.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Con AD=6, DB=9, EC=12, ¿cuánto mide AE?
6/9=AE/12 → AE=8.
Respuesta: A) 8
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Con AD=4, DB=12, AE=5, se cumple que EC=15.
4/12=5/EC → EC=15.
Respuesta: Verdadero
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En una configuración de tres paralelas, AB=6, BC=10, A'B'=9. ¿Cuánto mide B'C'?
6/10=9/B'C' → B'C'=15.
Respuesta: A) 15
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Si se conocen AB completo, AD y AE, se puede calcular AC completo usando la misma razón AD/AB=AE/AC.
La razón entre segmentos parciales y completos también se mantiene proporcional.
Respuesta: Verdadero
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En un triángulo, AB=18, AD=6 (D en AB), DE paralela a BC, AC=27. ¿Cuánto mide AE?
AD/AB=6/18=1/3; AE/AC=1/3 → AE=27/3=9.
Respuesta: A) 9
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¿Cuál es el error frecuente al calcular longitudes con Tales?
Es un error frecuente, especialmente al mezclar AB (completo) con AD (parcial).
Respuesta: A) Confundir un segmento parcial con el segmento completo