Aplicación del teorema de Tales en triángulos con una recta paralela a un lado

M1 — PAES obligatoria Media
Objetivo

Aplicar el teorema de Tales al caso particular de un triángulo con una recta paralela a uno de sus lados.

Introducción

Un caso muy frecuente y útil del teorema de Tales ocurre dentro de un triángulo: cuando se traza una recta paralela a uno de sus lados, cortando a los otros dos.

Explicación

Tales aplicado en un triángulo con DE paralela a BC

Definición formal

En el triángulo $ABC$, si $D\in AB$, $E\in AC$ y $DE\parallel BC$, entonces $\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$, ya que AB y AC actúan como dos transversales cortadas por las paralelas que contienen a DE y BC.

Desarrollo didáctico

Este caso es simplemente una aplicación del teorema general de Tales, pero usando solo dos rectas paralelas (la que contiene a DE y la que contiene a BC) y dos transversales (los lados AB y AC del triángulo).

Cómo hacerlo paso a paso

  • Paso 1: Verifica que el segmento trazado dentro del triángulo sea paralelo a uno de sus lados.
  • Paso 2: Identifica los dos segmentos que se forman en cada lado cortado por esa paralela.
  • Paso 3: Plantea la proporción entre los segmentos correspondientes en cada lado.

Ejemplos

1 En el triángulo ABC, DE es paralela a BC, con D en AB y E en AC.
2 AD=4, DB=6, AE=6. ¿Cuánto mide EC?
3 ¿Es necesario que DE sea paralela a BC para aplicar esta proporción?
4 ¿Esta proporción es un caso particular del teorema general de Tales?

Ejemplos Verdadero/Falso

"Aplicar la proporción sin verificar primero que el segmento sea realmente paralelo al lado del triángulo."

¿Es correcta esta afirmación?

"Invertir la proporción, comparando AD/DB con EC/AE en vez de AE/EC."

¿Es correcta esta afirmación?

"Confundir esta proporción con la relación de semejanza de triángulos (que involucra los tres lados completos)."

¿Es correcta esta afirmación?

Fuente: Fuente: Cid 107.
Resumen

Si en un triángulo ABC se traza un segmento DE paralelo al lado BC (con D en AB y E en AC), entonces se cumple que $\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. Con AD=4, DB=6, AE=6, se cumple que EC=9.

  2. Si DE es paralela a BC en el triángulo ABC (D en AB, E en AC), se cumple que:

  3. ¿Qué condición es esencial para que se cumpla esta proporción?

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. Esta proporción requiere que D y E sean necesariamente los puntos medios de los lados.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. Con AD=3, DB=5, AE=9, ¿cuánto mide EC?

  2. Con AD=2, DB=8, AE=3, se cumple que EC=12.

  3. Si D es el punto medio de AB (AD=DB), y DE es paralela a BC, ¿qué se puede afirmar de E?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. ¿Cuál es el error frecuente al aplicar esta proporción?

  2. En el triángulo ABC, AB=15, AD=6 (con D en AB), y DE paralela a BC con AC=20. ¿Cuánto mide AE?

  3. Esta configuración también implica que el triángulo ADE es semejante al triángulo ABC.

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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