Relación entre volúmenes de cuerpos semejantes como cubo de la razón de semejanza
Comprender que la razón entre los volúmenes de dos cuerpos semejantes es igual al cubo de su razón de semejanza.
Introducción
Extendiendo la idea de la razón de áreas al espacio tridimensional, los volúmenes de cuerpos semejantes siguen un patrón similar, pero con una potencia distinta.
Explicación
Definición formal
Si dos cuerpos son semejantes con razón de semejanza $k$, entonces $\frac{V_2}{V_1}=k^3$, donde $V_1$ y $V_2$ son sus volúmenes respectivos.
Desarrollo didáctico
Esto ocurre porque el volumen depende del producto de tres longitudes, cada una escalada por $k$, por lo que el volumen total se multiplica por $k^3$. Por ejemplo, si un cubo se amplía al doble de tamaño ($k=2$), su volumen se multiplica por $2^3=8$, no solo por 2 o por 4.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Determina la razón de semejanza $k$ entre los dos cuerpos.
- Paso 2: Eleva esa razón al cubo para obtener la razón de volúmenes.
- Paso 3: Multiplica el volumen conocido por $k^3$ para obtener el volumen del otro cuerpo.
Ejemplos
1 Un cuerpo tiene volumen 5 cm³; su semejante tiene razón de semejanza 2.
- Volumen del semejante = 5×2³=5×8=40 cm³.
2 Dos cuerpos semejantes tienen volúmenes 8 cm³ y 216 cm³.
- k³=216/8=27 → k=3.
3 ¿Duplicar el tamaño lineal de un cuerpo multiplica su volumen por 8?
- Sí, porque el volumen escala con el cubo de la razón: 2³=8.
4 ¿La razón de volúmenes es la misma que la razón de áreas?
- No, la razón de volúmenes es el cubo de la razón de semejanza, mientras que la de áreas es el cuadrado.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir la razón de volúmenes con la razón de áreas (usar el cuadrado en vez del cubo)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Al despejar la razón de semejanza desde una razón de volúmenes, olvidar aplicar la raíz cúbica."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Aplicar la razón lineal directamente al calcular volúmenes, sin elevar al cubo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La razón entre los volúmenes de dos cuerpos semejantes es igual al cubo de la razón de semejanza entre ellos.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
La razón entre los volúmenes de dos cuerpos semejantes es:
Es la propiedad fundamental de volúmenes en cuerpos semejantes.
Respuesta: A) El cubo de la razón de semejanza
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Con volumen 5 y razón 2, el volumen del semejante es 40.
5×2³=40.
Respuesta: Verdadero
-
¿Por qué el volumen escala con el cubo de la razón de semejanza?
Es la explicación matemática de esta propiedad.
Respuesta: A) Porque el volumen depende del producto de tres longitudes, cada una escalada por k
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Duplicar el tamaño lineal de un cuerpo duplica también su volumen.
El volumen se multiplica por 8 (2³), no se duplica.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Con razón de semejanza 0,5, un volumen de 80 cm³ corresponde a un volumen de 10 cm³ en el cuerpo semejante.
80×0,5³=80×0,125=10.
Respuesta: Verdadero
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Un cubo tiene volumen 27 cm³. Otro cubo semejante tiene razón 2. ¿Cuál es su volumen?
27×2³=27×8=216.
Respuesta: A) 216 cm³
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Dos cuerpos semejantes tienen volúmenes 8 cm³ y 216 cm³. ¿Cuál es la razón de semejanza?
k³=216/8=27 → k=3.
Respuesta: A) 3
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Si la razón de semejanza es 1/2, el volumen del cuerpo menor es 1/8 del volumen del cuerpo mayor.
(1/2)³=1/8.
Respuesta: Verdadero
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Una maqueta a escala 1:10 tiene un depósito de agua de 2 litros. ¿Cuál es la capacidad real del depósito?
El volumen escala con el cubo de la razón lineal: 2×10³=2×1000=2000.
Respuesta: A) 2000 litros
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¿Cuál es el error frecuente al calcular volúmenes de cuerpos semejantes?
Es un error común confundir la razón de volúmenes con la de áreas.
Respuesta: A) Usar el cuadrado de la razón en vez del cubo