Relación entre volúmenes de cuerpos semejantes como cubo de la razón de semejanza

M2 — PAES electiva Avanzada

Resumen inicial

La razón entre los volúmenes de dos cuerpos geométricos semejantes es igual al cubo de la razón de semejanza lineal: $\frac{\text{Volumen}'}{\text{Volumen}} = k^3$.

Explicación en palabras simples

Relación entre Volúmenes: Razón Cúbica k³

Si duplicas el largo, ancho y alto de una caja, le cabe 8 veces más agua adentro.

Explicación formal

Teorema formal

Sean $C_1, C_2 \subset \mathbb{R}^3$ dos sólidos tridimensionales semejantes con razón lineal $k > 0$. Entonces:

$$\frac{\text{Volumen}(C_2)}{\text{Volumen}(C_1)} = k^3$$

Desglose simbólico y geométrico

  • Demostración en paralelepípedos: $V_1 = a \cdot b \cdot c$. Al transformar con $k$: $a' = ka, b' = kb, c' = kc$.
    $$V_2 = a' \cdot b' \cdot c' = (ka)(kb)(kc) = k^3 (abc) = k^3 V_1$$
  • Principio de semejanza dimensional resumido:
  • Longitudes (1D): Razón $k^1$.
  • Áreas y superficies (2D): Razón $k^2$.
  • Volúmenes y masas (3D): Razón $k^3$.

Síntesis didáctica

El crecimiento cúbico es clave en física, hidrodinámica, ingeniería de materiales y biología.

Comprueba tu avance Si las aristas de un cubo se multiplican por 3 (k = 3), ¿cuántas veces aumenta su volumen?

Definiciones clave

  • Semejanza geométrica: Relación entre figuras que poseen la misma forma con ángulos congruentes y lados proporcionales.
  • Razón de semejanza (k): Factor numérico constante resultante del cociente entre longitudes homólogas ($k = L^\prime/L$).
  • Criterios de semejanza: Condiciones mínimas suficientes para garantizar la semejanza de triángulos (AA, LLL, LAL).
  • Relación dimensional: Comportamiento de magnitudes geométricas bajo escala: $1D \to k$, $2D \to k^2$, $3D \to k^3$.

Propiedades y relaciones importantes

  • Invarianza angular: $\angle_i \cong \angle_i^\prime \quad \forall i$.
  • Proporción de perímetros: $\frac{P^\prime}{P} = k$.
  • Proporción de áreas: $\frac{A^\prime}{A} = k^2$.
  • Proporción de volúmenes: $\frac{V^\prime}{V} = k^3$.

Ejemplo guiado

Ejemplo de Relación entre Volúmenes: Razón Cúbica k³

Aplica las propiedades y criterios de semejanza para determinar las medidas desconocidas y justificar la relación geométrica.

  • Paso 1: Identificar las figuras dadas y verificar el cumplimiento de los criterios de semejanza (AA, LLL o LAL).
  • Paso 2: Establecer la correspondencia de vértices, ángulos homólogos y lados correspondientes.
  • Paso 3: Calcular la razón de semejanza lineal $k = L^\prime / L$ a partir de los datos numéricos conocidos.
  • Paso 4: Aplicar el factor de escala adecuado según la dimensión de la magnitud: lineal ($k$), superficial ($k^2$) o volumétrica ($k^3$).
  • Paso 5: Expresar el resultado final con su respectiva unidad de medida.
Comprueba tu avance Si un modelo a escala 1:10 de un tanque tiene capacidad de 2 litros, ¿cuántos litros caben en el tanque real?

Procedimiento

  • Paso 1: Verificar el criterio de semejanza aplicable (AA, LLL o LAL).
  • Paso 2: Emparejar los elementos homólogos respetando la correspondencia angular.
  • Paso 3: Formular la igualdad de razones $\frac{L_1^\prime}{L_1} = \frac{L_2^\prime}{L_2} = k$.
  • Paso 4: Multiplicar por $k$ (longitudes), $k^2$ (áreas) o $k^3$ (volúmenes).
  • Paso 5: Comprobar la coherencia del resultado con la escala de ampliación o reducción.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Recuerda que para figuras de 4 o más lados no basta con tener los mismos ángulos: se deben verificar obligatoriamente tanto ángulos iguales como lados proporcionales.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 ¿Cuál es el valor correspondiente calculado mediante las propiedades de semejanza?
2 Si una figura se amplía al triple (k = 3), ¿por cuánto se multiplica su área?
3 ¿Dos triángulos con dos ángulos respectivamente iguales son siempre semejantes?
4 ¿Un cuadrado y un rectángulo son siempre semejantes por tener ángulos de 90°?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Multiplicar el volumen por k en lugar de k³ al ampliar un sólido."
"Dos triángulos con dos ángulos congruentes son semejantes (Criterio AA)."
"Modificar la medida de los ángulos al aplicar un factor de escala k."
"Multiplicar el área por k en lugar de k² al cambiar de escala."
"Afirmar que dos polígonos de 4 o más lados son semejantes solo porque tienen los mismos ángulos."
"Invertir el orden de los lados al plantear la razón de semejanza."
"La razón entre los volúmenes de cuerpos semejantes es igual al cubo de la razón de lados (k³)."
"La razón entre las áreas de figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de lados (k²)."

Al terminar debes poder

Resumen de Semejanza

🎯 QUÉ Objetivo

Comprender, demostrar y aplicar la semejanza de triángulos y polígonos, escalas, modelos de perspectiva y razones de perímetros, áreas y volúmenes.

⚙️ CÓMO Procedimiento

Utilizando los criterios AA, LLL y LAL, resolviendo ecuaciones de proporcionalidad y aplicando las razones de escala $k$, $k^2$ y $k^3$.

Fuente: Texto escolar MINEDUC — Geometría 2° Medio / Semejanza y Homotecia.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. La razón entre los volúmenes de dos cuerpos semejantes es:

  2. Con volumen 5 y razón 2, el volumen del semejante es 40.

  3. ¿Por qué el volumen escala con el cubo de la razón de semejanza?

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. Duplicar el tamaño lineal de un cuerpo duplica también su volumen.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. Con razón de semejanza 0,5, un volumen de 80 cm³ corresponde a un volumen de 10 cm³ en el cuerpo semejante.

  2. Un cubo tiene volumen 27 cm³. Otro cubo semejante tiene razón 2. ¿Cuál es su volumen?

  3. Dos cuerpos semejantes tienen volúmenes 8 cm³ y 216 cm³. ¿Cuál es la razón de semejanza?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. Si la razón de semejanza es 1/2, el volumen del cuerpo menor es 1/8 del volumen del cuerpo mayor.

  2. Una maqueta a escala 1:10 tiene un depósito de agua de 2 litros. ¿Cuál es la capacidad real del depósito?

  3. ¿Cuál es el error frecuente al calcular volúmenes de cuerpos semejantes?

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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