Relación entre perímetros de figuras semejantes

M1 — PAES obligatoria Media

Resumen inicial

La razón entre los perímetros de dos figuras semejantes es exactamente igual a la razón de semejanza $k$ entre sus lados homólogos: $\frac{P'}{P} = k$.

Explicación en palabras simples

Relación entre Perímetros: Razón Lineal k

Si duplicas todos los lados de una figura ($k=2$), el perímetro completo también se duplica exactamente.

Explicación formal

Teorema formal

Sean $P_1$ y $P_2$ dos polígonos semejantes con lados $\{a_1, a_2, \dots, a_n\}$ y $\{a'_1, a'_2, \dots, a'_n\}$ tales que $a'_i = k \cdot a_i$. Entonces:

$$\frac{\text{Perímetro}(P_2)}{\text{Perímetro}(P_1)} = \frac{\sum_{i=1}^n a'_i}{\sum_{i=1}^n a_i} = \frac{\sum_{i=1}^n (k \cdot a_i)}{\sum_{i=1}^n a_i} = \frac{k \sum_{i=1}^n a_i}{\sum_{i=1}^n a_i} = k$$

Desglose simbólico y geométrico

  • Homogeneidad de orden 1: El perímetro es un funcional lineal homogéneo de las longitudes de los lados.

Síntesis didáctica

Recordar siempre: magnitudes lineales (lados, alturas, perímetros) crecen con $k^1$.

Comprueba tu avance Si un triángulo tiene perímetro de 30 cm y se amplía con razón k = 3, ¿cuál es el nuevo perímetro?

Definiciones clave

  • Semejanza geométrica: Relación entre figuras que poseen la misma forma con ángulos congruentes y lados proporcionales.
  • Razón de semejanza (k): Factor numérico constante resultante del cociente entre longitudes homólogas ($k = L^\prime/L$).
  • Criterios de semejanza: Condiciones mínimas suficientes para garantizar la semejanza de triángulos (AA, LLL, LAL).
  • Relación dimensional: Comportamiento de magnitudes geométricas bajo escala: $1D \to k$, $2D \to k^2$, $3D \to k^3$.

Propiedades y relaciones importantes

  • Invarianza angular: $\angle_i \cong \angle_i^\prime \quad \forall i$.
  • Proporción de perímetros: $\frac{P^\prime}{P} = k$.
  • Proporción de áreas: $\frac{A^\prime}{A} = k^2$.
  • Proporción de volúmenes: $\frac{V^\prime}{V} = k^3$.

Ejemplo guiado

Ejemplo de Relación entre Perímetros: Razón Lineal k

Aplica las propiedades y criterios de semejanza para determinar las medidas desconocidas y justificar la relación geométrica.

  • Paso 1: Identificar las figuras dadas y verificar el cumplimiento de los criterios de semejanza (AA, LLL o LAL).
  • Paso 2: Establecer la correspondencia de vértices, ángulos homólogos y lados correspondientes.
  • Paso 3: Calcular la razón de semejanza lineal $k = L^\prime / L$ a partir de los datos numéricos conocidos.
  • Paso 4: Aplicar el factor de escala adecuado según la dimensión de la magnitud: lineal ($k$), superficial ($k^2$) o volumétrica ($k^3$).
  • Paso 5: Expresar el resultado final con su respectiva unidad de medida.
Comprueba tu avance Si la razón de semejanza entre dos pentágonos es k = 2/5 y el perímetro del mayor es 50 cm, ¿cuánto mide el menor?

Procedimiento

  • Paso 1: Verificar el criterio de semejanza aplicable (AA, LLL o LAL).
  • Paso 2: Emparejar los elementos homólogos respetando la correspondencia angular.
  • Paso 3: Formular la igualdad de razones $\frac{L_1^\prime}{L_1} = \frac{L_2^\prime}{L_2} = k$.
  • Paso 4: Multiplicar por $k$ (longitudes), $k^2$ (áreas) o $k^3$ (volúmenes).
  • Paso 5: Comprobar la coherencia del resultado con la escala de ampliación o reducción.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Recuerda que para figuras de 4 o más lados no basta con tener los mismos ángulos: se deben verificar obligatoriamente tanto ángulos iguales como lados proporcionales.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 ¿Cuál es el valor correspondiente calculado mediante las propiedades de semejanza?
2 Si una figura se amplía al triple (k = 3), ¿por cuánto se multiplica su área?
3 ¿Dos triángulos con dos ángulos respectivamente iguales son siempre semejantes?
4 ¿Un cuadrado y un rectángulo son siempre semejantes por tener ángulos de 90°?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Multiplicar el volumen por k en lugar de k³ al ampliar un sólido."
"Dos triángulos con dos ángulos congruentes son semejantes (Criterio AA)."
"Modificar la medida de los ángulos al aplicar un factor de escala k."
"La razón entre los volúmenes de cuerpos semejantes es igual al cubo de la razón de lados (k³)."
"La razón entre las áreas de figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de lados (k²)."
"Multiplicar el área por k en lugar de k² al cambiar de escala."
"Afirmar que dos polígonos de 4 o más lados son semejantes solo porque tienen los mismos ángulos."
"Invertir el orden de los lados al plantear la razón de semejanza."

Al terminar debes poder

Resumen de Semejanza

🎯 QUÉ Objetivo

Comprender, demostrar y aplicar la semejanza de triángulos y polígonos, escalas, modelos de perspectiva y razones de perímetros, áreas y volúmenes.

⚙️ CÓMO Procedimiento

Utilizando los criterios AA, LLL y LAL, resolviendo ecuaciones de proporcionalidad y aplicando las razones de escala $k$, $k^2$ y $k^3$.

Fuente: Texto escolar MINEDUC — Geometría 2° Medio / Semejanza y Homotecia.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. Con perímetro 20 y razón 3, el perímetro del semejante es 60.

  2. ¿Por qué la razón de perímetros coincide exactamente con la razón de semejanza?

  3. La razón entre los perímetros de dos figuras semejantes es igual a:

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. Esta propiedad solo aplica a triángulos, no a otros polígonos.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. Dos triángulos semejantes tienen perímetros 12 cm y 36 cm. ¿Cuál es la razón de semejanza?

  2. Con razón de semejanza 0,5, un perímetro de 40 cm corresponde a un perímetro de 20 cm en la figura semejante.

  3. Un pentágono tiene perímetro 50 cm. Su semejante tiene razón 1,4. ¿Cuál es su perímetro?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. Si dos triángulos son congruentes (razón de semejanza 1), sus perímetros son iguales.

  2. ¿Cuál es el error frecuente al aplicar esta propiedad?

  3. Un hexágono regular tiene perímetro 36 cm. Otro hexágono regular semejante tiene lado de 8 cm (el original tiene lado 6 cm). ¿Cuál es el perímetro del segundo?

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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