Relación entre perímetros de figuras semejantes
Comprender que la razón entre los perímetros de dos figuras semejantes es exactamente igual a su razón de semejanza.
Introducción
Una consecuencia directa e intuitiva de la semejanza es cómo se relacionan los perímetros de dos figuras semejantes entre sí.
Explicación
Definición formal
Si dos figuras son semejantes con razón de semejanza $k$, entonces $\frac{P_2}{P_1}=k$, donde $P_1$ y $P_2$ son sus perímetros respectivos.
Desarrollo didáctico
Esto ocurre porque el perímetro es una suma de longitudes, y cada longitud se multiplica por el mismo factor $k$; al sumar todos los lados multiplicados por $k$, el perímetro total también queda multiplicado por $k$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Determina la razón de semejanza entre las dos figuras.
- Paso 2: Si conoces el perímetro de una figura, multiplícalo por la razón de semejanza para obtener el de la otra.
- Paso 3: Verifica que el resultado sea consistente con la escala de la figura (mayor o menor según corresponda).
Ejemplos
1 Un triángulo tiene perímetro 20 cm; su semejante tiene razón de semejanza 3.
- Perímetro del semejante = 20×3=60 cm.
2 Dos triángulos semejantes tienen perímetros 15 cm y 45 cm.
- La razón de semejanza es 45/15=3.
3 ¿La razón entre perímetros es igual a la razón de semejanza?
- Sí, es una consecuencia directa de que el perímetro es una suma de lados, todos escalados por el mismo factor.
4 ¿Esta propiedad aplica solo a triángulos?
- No, aplica a cualquier par de polígonos semejantes, sin importar el número de lados.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir la razón de perímetros con la razón de áreas (que es el cuadrado de la razón de semejanza)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Invertir la razón al calcular el perímetro de la figura más grande o más pequeña."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Aplicar esta propiedad a figuras que no son realmente semejantes."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La razón entre los perímetros de dos figuras semejantes es igual a la razón de semejanza entre ellas.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Con perímetro 20 y razón 3, el perímetro del semejante es 60.
20×3=60.
Respuesta: Verdadero
-
¿Por qué la razón de perímetros coincide exactamente con la razón de semejanza?
Es la explicación matemática de esta propiedad.
Respuesta: A) Porque el perímetro es una suma de lados, todos escalados por el mismo factor
-
La razón entre los perímetros de dos figuras semejantes es igual a:
Es la propiedad directa entre perímetros y razón de semejanza.
Respuesta: A) La razón de semejanza
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Esta propiedad solo aplica a triángulos, no a otros polígonos.
Aplica a cualquier par de polígonos semejantes.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Dos triángulos semejantes tienen perímetros 12 cm y 36 cm. ¿Cuál es la razón de semejanza?
36/12=3.
Respuesta: A) 3
-
Con razón de semejanza 0,5, un perímetro de 40 cm corresponde a un perímetro de 20 cm en la figura semejante.
40×0,5=20.
Respuesta: Verdadero
-
Un pentágono tiene perímetro 50 cm. Su semejante tiene razón 1,4. ¿Cuál es su perímetro?
50×1,4=70.
Respuesta: A) 70 cm
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Si dos triángulos son congruentes (razón de semejanza 1), sus perímetros son iguales.
Con razón 1, el perímetro se multiplica por 1, quedando igual.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuál es el error frecuente al aplicar esta propiedad?
Es un error muy común confundir ambas propiedades.
Respuesta: A) Confundirla con la razón de áreas (que es el cuadrado de la razón)
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Un hexágono regular tiene perímetro 36 cm. Otro hexágono regular semejante tiene lado de 8 cm (el original tiene lado 6 cm). ¿Cuál es el perímetro del segundo?
k=8/6=4/3; perímetro=36×4/3=48.
Respuesta: A) 48 cm