Relación entre áreas de figuras semejantes como cuadrado de la razón de semejanza
Resumen inicial
La razón entre las áreas de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza lineal: $\frac{\text{Área}'}{\text{Área}} = k^2$.
Explicación en palabras simples
Si duplicas el tamaño de los lados de un dibujo, necesitas 4 veces más pintura para rellenarlo.
Explicación formal
Teorema formal
Sean $F_1, F_2$ dos figuras medibles en $\mathbb{R}^2$ semejantes con razón $k > 0$. Entonces:
$$\frac{\text{Área}(F_2)}{\text{Área}(F_1)} = k^2$$
Desglose simbólico y geométrico
- Demostración en triángulos: $\text{Área}_1 = \frac{b \cdot h}{2}$. Al aplicar la semejanza, $b' = k \cdot b$ y $h' = k \cdot h$. Por tanto:
$$\text{Área}_2 = \frac{b' \cdot h'}{2} = \frac{(kb) \cdot (kh)}{2} = k^2 \left(\frac{bh}{2}\right) = k^2 \cdot \text{Área}_1$$ - En polígonos generales: Se descompone en $N$ triángulos semejantes disjuntos y se suma.
Síntesis didáctica
Nunca multiplicar el área por $k$; siempre se debe multiplicar por $k^2$.
Se multiplica Por 16 ($4^2 = 16$), por ser una magnitud bidimensional.
Definiciones clave
- Semejanza geométrica: Relación entre figuras que poseen la misma forma con ángulos congruentes y lados proporcionales.
- Razón de semejanza (k): Factor numérico constante resultante del cociente entre longitudes homólogas ($k = L^\prime/L$).
- Criterios de semejanza: Condiciones mínimas suficientes para garantizar la semejanza de triángulos (AA, LLL, LAL).
- Relación dimensional: Comportamiento de magnitudes geométricas bajo escala: $1D \to k$, $2D \to k^2$, $3D \to k^3$.
Propiedades y relaciones importantes
- Invarianza angular: $\angle_i \cong \angle_i^\prime \quad \forall i$.
- Proporción de perímetros: $\frac{P^\prime}{P} = k$.
- Proporción de áreas: $\frac{A^\prime}{A} = k^2$.
- Proporción de volúmenes: $\frac{V^\prime}{V} = k^3$.
Ejemplo guiado
Aplica las propiedades y criterios de semejanza para determinar las medidas desconocidas y justificar la relación geométrica.
- Paso 1: Identificar las figuras dadas y verificar el cumplimiento de los criterios de semejanza (AA, LLL o LAL).
- Paso 2: Establecer la correspondencia de vértices, ángulos homólogos y lados correspondientes.
- Paso 3: Calcular la razón de semejanza lineal $k = L^\prime / L$ a partir de los datos numéricos conocidos.
- Paso 4: Aplicar el factor de escala adecuado según la dimensión de la magnitud: lineal ($k$), superficial ($k^2$) o volumétrica ($k^3$).
- Paso 5: Expresar el resultado final con su respectiva unidad de medida.
La razón es $k = 2$, ya que $k = \sqrt{\frac{100}{25}} = \sqrt{4} = 2$.
Procedimiento
- Paso 1: Verificar el criterio de semejanza aplicable (AA, LLL o LAL).
- Paso 2: Emparejar los elementos homólogos respetando la correspondencia angular.
- Paso 3: Formular la igualdad de razones $\frac{L_1^\prime}{L_1} = \frac{L_2^\prime}{L_2} = k$.
- Paso 4: Multiplicar por $k$ (longitudes), $k^2$ (áreas) o $k^3$ (volúmenes).
- Paso 5: Comprobar la coherencia del resultado con la escala de ampliación o reducción.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
Recuerda que para figuras de 4 o más lados no basta con tener los mismos ángulos: se deben verificar obligatoriamente tanto ángulos iguales como lados proporcionales.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- La razón es $k = 2$, ya que $k = \sqrt{\frac{100}{25}} = \sqrt{4} = 2$.
- El área es una magnitud bidimensional que escala con el cuadrado de la razón de semejanza: $k^2 = 3^2 = 9$.
- Sí, por el Criterio AA (Ángulo-Ángulo), dos ángulos congruentes garantizan automáticamente la semejanza total de los triángulos.
- No, porque para polígonos de 4 o más lados se requiere además que sus lados homólogos sean proporcionales, lo que no ocurre entre un cuadrado y un rectángulo general.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Esta afirmación es correcta.
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Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Comprender, demostrar y aplicar la semejanza de triángulos y polígonos, escalas, modelos de perspectiva y razones de perímetros, áreas y volúmenes.
Utilizando los criterios AA, LLL y LAL, resolviendo ecuaciones de proporcionalidad y aplicando las razones de escala $k$, $k^2$ y $k^3$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Con área 10 y razón 2, el área del semejante es 40.
10×2²=40.
Respuesta: Verdadero
-
La razón entre las áreas de dos figuras semejantes es:
Es la propiedad fundamental de áreas en figuras semejantes.
Respuesta: A) El cuadrado de la razón de semejanza
-
¿Por qué el área escala con el cuadrado de la razón de semejanza?
Es la explicación matemática de esta propiedad.
Respuesta: A) Porque el área depende del producto de dos longitudes, cada una escalada por k
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Duplicar el tamaño de una figura duplica también su área.
El área se cuadruplica (2²=4), no se duplica.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Dos triángulos semejantes tienen áreas 8 cm² y 72 cm². ¿Cuál es la razón de semejanza?
k²=72/8=9 → k=3.
Respuesta: A) 3
-
Con razón de semejanza 0,5, un área de 40 cm² corresponde a un área de 10 cm² en la figura semejante.
40×0,5²=40×0,25=10.
Respuesta: Verdadero
-
Un cuadrado tiene área 16 cm². Otro cuadrado semejante tiene razón 1,5. ¿Cuál es su área?
16×1,5²=16×2,25=36.
Respuesta: A) 36 cm²
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Si la razón de semejanza es 1/3, el área de la figura menor es 1/9 del área de la figura mayor.
(1/3)²=1/9.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuál es el error frecuente al calcular áreas de figuras semejantes?
Es el error más común, tratando la razón de áreas como si fuera lineal.
Respuesta: A) Olvidar elevar al cuadrado la razón de semejanza
-
Un terreno de 200 m² se representa en un plano con área de 8 cm² (en la escala del plano). Si la escala lineal es 1:500, ¿el área calculada es consistente con esa escala?
8 cm²×250000=2000000 cm²=200 m², coincide con el área real dada.
Respuesta: A) Sí, porque el área real sería 8 cm²×500²=2000000 cm²=200 m²