Proporcionalidad de lados correspondientes en polígonos semejantes

M1 — PAES obligatoria Media

Resumen inicial

La proporcionalidad de lados en polígonos semejantes establece que la razón entre la longitud de cada lado de la figura transformada y su lado homólogo en la figura original es siempre constante e igual a la razón de semejanza $k$.

Explicación en palabras simples

Proporcionalidad de Lados Correspondientes

Todos los lados de la figura grande son el resultado de multiplicar los lados de la figura chica por el mismo número $k$.

Explicación formal

Teorema formal

Dadas dos figuras poligonales semejantes $P \sim P'$ con conjuntos de lados $\{l_1, l_2, \dots, l_n\}$ y $\{l'_1, l'_2, \dots, l'_n\}$ respectivamente:

$$\exists ! k \in \mathbb{R}^+ \quad \text{tal que} \quad l'_i = k \cdot l_i \quad \forall i \in \{1, 2, \dots, n\}$$

Desglose simbólico y geométrico

  • Relación de biyección métrica: La función $f(l_i) = l'_i$ es lineal y homogénea de grado 1.
  • Invarianza de las razones internas: $\frac{l_i}{l_j} = \frac{l'_i}{l'_j} \quad \forall i, j$. La proporción entre dos lados cualesquiera dentro de la misma figura no cambia al aplicar la semejanza.

Síntesis didáctica

Esta propiedad permite resolver lados desconocidos mediante el planteamiento directo de reglas de tres.

Comprueba tu avance Si los lados de un triángulo miden 4, 6 y 8 cm, y el lado homólogo a 4 cm mide 12 cm en otro semejante, ¿cuánto miden los otros dos?

Definiciones clave

  • Semejanza geométrica: Relación entre figuras que poseen la misma forma con ángulos congruentes y lados proporcionales.
  • Razón de semejanza (k): Factor numérico constante resultante del cociente entre longitudes homólogas ($k = L^\prime/L$).
  • Criterios de semejanza: Condiciones mínimas suficientes para garantizar la semejanza de triángulos (AA, LLL, LAL).
  • Relación dimensional: Comportamiento de magnitudes geométricas bajo escala: $1D \to k$, $2D \to k^2$, $3D \to k^3$.

Propiedades y relaciones importantes

  • Invarianza angular: $\angle_i \cong \angle_i^\prime \quad \forall i$.
  • Proporción de perímetros: $\frac{P^\prime}{P} = k$.
  • Proporción de áreas: $\frac{A^\prime}{A} = k^2$.
  • Proporción de volúmenes: $\frac{V^\prime}{V} = k^3$.

Ejemplo guiado

Ejemplo de Proporcionalidad de Lados Correspondientes

Aplica las propiedades y criterios de semejanza para determinar las medidas desconocidas y justificar la relación geométrica.

  • Paso 1: Identificar las figuras dadas y verificar el cumplimiento de los criterios de semejanza (AA, LLL o LAL).
  • Paso 2: Establecer la correspondencia de vértices, ángulos homólogos y lados correspondientes.
  • Paso 3: Calcular la razón de semejanza lineal $k = L^\prime / L$ a partir de los datos numéricos conocidos.
  • Paso 4: Aplicar el factor de escala adecuado según la dimensión de la magnitud: lineal ($k$), superficial ($k^2$) o volumétrica ($k^3$).
  • Paso 5: Expresar el resultado final con su respectiva unidad de medida.
Comprueba tu avance ¿Cómo se relacionan dos lados de la misma figura respecto a sus homólogos en una figura semejante?

Procedimiento

  • Paso 1: Verificar el criterio de semejanza aplicable (AA, LLL o LAL).
  • Paso 2: Emparejar los elementos homólogos respetando la correspondencia angular.
  • Paso 3: Formular la igualdad de razones $\frac{L_1^\prime}{L_1} = \frac{L_2^\prime}{L_2} = k$.
  • Paso 4: Multiplicar por $k$ (longitudes), $k^2$ (áreas) o $k^3$ (volúmenes).
  • Paso 5: Comprobar la coherencia del resultado con la escala de ampliación o reducción.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Recuerda que para figuras de 4 o más lados no basta con tener los mismos ángulos: se deben verificar obligatoriamente tanto ángulos iguales como lados proporcionales.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 ¿Cuál es el valor correspondiente calculado mediante las propiedades de semejanza?
2 Si una figura se amplía al triple (k = 3), ¿por cuánto se multiplica su área?
3 ¿Dos triángulos con dos ángulos respectivamente iguales son siempre semejantes?
4 ¿Un cuadrado y un rectángulo son siempre semejantes por tener ángulos de 90°?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"La razón entre los volúmenes de cuerpos semejantes es igual al cubo de la razón de lados (k³)."
"Invertir el orden de los lados al plantear la razón de semejanza."
"Dos triángulos con dos ángulos congruentes son semejantes (Criterio AA)."
"La razón entre las áreas de figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de lados (k²)."
"Afirmar que dos polígonos de 4 o más lados son semejantes solo porque tienen los mismos ángulos."
"Modificar la medida de los ángulos al aplicar un factor de escala k."
"Multiplicar el área por k en lugar de k² al cambiar de escala."
"Multiplicar el volumen por k en lugar de k³ al ampliar un sólido."

Al terminar debes poder

Resumen de Semejanza

🎯 QUÉ Objetivo

Comprender, demostrar y aplicar la semejanza de triángulos y polígonos, escalas, modelos de perspectiva y razones de perímetros, áreas y volúmenes.

⚙️ CÓMO Procedimiento

Utilizando los criterios AA, LLL y LAL, resolviendo ecuaciones de proporcionalidad y aplicando las razones de escala $k$, $k^2$ y $k^3$.

Fuente: Texto escolar MINEDUC — Geometría 2° Medio / Semejanza y Homotecia.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. En polígonos semejantes, los lados correspondientes son:

  2. Un pentágono de lados 3,4,5,6,7 y otro de lados 6,8,10,12,14 son proporcionales.

  3. ¿Qué nombre recibe la razón constante entre lados correspondientes?

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. Basta con que algunos pares de lados sean proporcionales para garantizar semejanza.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. Un pentágono tiene lados 3,4,5,6,7. Otro tiene lados 6,8,10,12,15. ¿Son proporcionales?

  2. Un cuadrado de lado 4 y otro de lado 10 tienen lados proporcionales con razón 2,5.

  3. Un triángulo tiene lados 6,8,10. Otro semejante tiene razón de semejanza 1,5. ¿Cuáles son sus lados?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. ¿Cuál es el error frecuente al verificar proporcionalidad de lados?

  2. Si la razón de semejanza entre dos polígonos es 1, ambos polígonos son en realidad congruentes.

  3. Un hexágono tiene lados 2,3,4,5,6,7 y es semejante a otro con razón de semejanza 3. ¿Cuál es la suma de los lados del segundo hexágono (su perímetro)?

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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