Proporcionalidad de lados correspondientes en polígonos semejantes
Reconocer que en polígonos semejantes, todos los lados correspondientes mantienen exactamente la misma razón de proporcionalidad.
Introducción
La segunda condición que define la semejanza de polígonos, junto a la igualdad de ángulos, es que todos los lados correspondientes guarden la misma proporción entre sí.
Explicación
Definición formal
Si los polígonos $P_1P_2...P_n$ y $P_1'P_2'...P_n'$ son semejantes, entonces $\frac{P_1P_2}{P_1'P_2'}=\frac{P_2P_3}{P_2'P_3'}=...=\frac{P_nP_1}{P_n'P_1'}$, siendo esta razón constante la razón de semejanza.
Desarrollo didáctico
A diferencia de solo tener "algunos" lados proporcionales, la condición exige que TODOS los pares de lados correspondientes mantengan exactamente la misma razón; si un solo par no la mantiene, los polígonos no son semejantes.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica los lados correspondientes entre los dos polígonos.
- Paso 2: Calcula la razón entre cada par de lados correspondientes.
- Paso 3: Verifica que todas esas razones sean exactamente iguales entre sí.
Ejemplos
1 Un pentágono tiene lados 3,4,5,6,7; otro tiene lados 6,8,10,12,14.
- Cada lado del segundo es el doble del correspondiente, la razón es constante (2), por lo tanto son proporcionales.
2 Un pentágono tiene lados 3,4,5,6,7; otro tiene lados 6,8,10,12,15.
- El último par (7 y 15) no mantiene la razón 2, por lo tanto no son proporcionales.
3 ¿Todos los pares de lados deben tener la misma razón?
- Sí, esa razón constante es justamente la razón de semejanza entre los dos polígonos.
4 ¿Esta condición por sí sola garantiza semejanza en cualquier polígono?
- No, también se requiere que los ángulos correspondientes sean iguales.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Verificar la razón solo entre algunos pares de lados y asumir que el resto también coincide."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Invertir el orden de la razón en algún par (por ejemplo, lado chico/lado grande en un par y al revés en otro)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir lados correspondientes con lados adyacentes dentro de un mismo polígono."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
En dos polígonos semejantes, la razón entre cada par de lados correspondientes es siempre la misma, sin importar qué par se elija.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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En polígonos semejantes, los lados correspondientes son:
Es la condición de lados en la semejanza.
Respuesta: A) Proporcionales, con la misma razón constante
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Un pentágono de lados 3,4,5,6,7 y otro de lados 6,8,10,12,14 son proporcionales.
Cada lado del segundo es el doble del correspondiente.
Respuesta: Verdadero
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¿Qué nombre recibe la razón constante entre lados correspondientes?
Es el nombre técnico de esta razón constante.
Respuesta: A) Razón de semejanza
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Basta con que algunos pares de lados sean proporcionales para garantizar semejanza.
Se requiere que TODOS los pares mantengan la misma razón.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Un pentágono tiene lados 3,4,5,6,7. Otro tiene lados 6,8,10,12,15. ¿Son proporcionales?
7×2=14≠15.
Respuesta: A) No, el último par no mantiene la razón 2
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Un cuadrado de lado 4 y otro de lado 10 tienen lados proporcionales con razón 2,5.
10/4=2,5, y todos los lados de un cuadrado son iguales, manteniendo esa razón.
Respuesta: Verdadero
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Un triángulo tiene lados 6,8,10. Otro semejante tiene razón de semejanza 1,5. ¿Cuáles son sus lados?
Cada lado se multiplica por 1,5: 6×1,5=9, 8×1,5=12, 10×1,5=15.
Respuesta: A) 9, 12, 15
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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¿Cuál es el error frecuente al verificar proporcionalidad de lados?
Es un error común no comprobar el conjunto completo de lados.
Respuesta: A) Verificar solo algunos pares de lados, no todos
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Si la razón de semejanza entre dos polígonos es 1, ambos polígonos son en realidad congruentes.
Una razón de semejanza igual a 1 implica que los lados correspondientes son exactamente iguales.
Respuesta: Verdadero
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Un hexágono tiene lados 2,3,4,5,6,7 y es semejante a otro con razón de semejanza 3. ¿Cuál es la suma de los lados del segundo hexágono (su perímetro)?
El perímetro original es 27; al multiplicar cada lado por 3, el perímetro también se multiplica por 3: 27×3=81.
Respuesta: A) 81